Dossiers

El concepto de espacio vectorial surge progresivamente a lo largo del siglo XIX, con el objetivo de formalizar el espacio que nos rodea. Precursores visionarios permitieron este cambio de perspectiva al introducir los buenos conceptos de « base », de « dimensión », de « determinante », de « aplicación lineal »… El álgebra lineal se ha convertido en el marco de estudio de numerosas teorías, en particular en análisis. Hoy, con el desarrollo de la herramienta informática, el álgebra lineal se implementa más fácilmente gracias al cálculo matricial.

El arte de curar no es una ciencia exacta: un tratamiento idéntico, curativo o preventivo, aplicado a varios grupos de individuos enfermos o sanos, da a menudo resultados paradójicos, dada la asombrosa variedad de los seres vivos. Ya sea para comparar los efectos de diferentes medicamentos o placebos, para determinar un índice de masa corporal ideal o para cuantificar la fiabilidad de una prueba de detección, el recurso a los razonamientos estadísticos y probabilísticos resulta indispensable en medicina.

La multiplicación de los descubrimientos matemáticos conduce, a finales del siglo XIX, a la necesidad de una estructuración que pasa por una puesta en cuestión de los fundamentos. Los numerosos paradojas construidos en el marco de los antiguos sistemas teóricos llevan a repensar las definiciones de diferentes conceptos hasta entonces percibidos de manera intuitiva, como el infinito, los conjuntos, los números… Los trabajos de Euclide habiendo abierto el camino de un enfoque axiomático, este se sistematiza a lo largo de los siglos XIX y XX con los trabajos de Cantor, Hilbert, Peano, Russell, Gödel entre tantos otros. Este enfoque se hace posible gracias a la formalización de la lógica, que concluye en el tratamiento automático de los razonamientos abriendo el camino a la informática moderna.

Para un matemático, comprender las superficies es, en general, hacer geometría diferencial o cálculo integral. ¡Cuánto progreso realizado desde los antiguos griegos, que debían recurrir a temibles trucos adaptados a cada caso encontrado! Para el profesional que se enfrenta a un caso determinado, por ejemplo el estudio de la superficie terrestre, la cuestión es más bien encontrar herramientas específicas para la superficie particular a estudiar. Desde la virología hasta las burbujas de jabón, los casos concretos no faltan. Surgen preguntas variadas, cuyos impactos son a menudo insospechados, conduciendo a veces a aplicaciones considerables.

Existen las ciencias experimentales (física, química, biología, etc.) y las matemáticas, probablemente piense. ¡Pues no! En matemáticas también se realizan experimentos, e incluso experimentaciones y manipulaciones (ver Tangente Éducation 30). Para dividir, se prueban los cocientes posibles. A un nivel más alto, ¡cuántas conjeturas, en la historia, se han enunciado a tientas tras muchos ensayos! Hoy en día, los experimentos matemáticos toman nuevas formas, debido al desarrollo de la informática. ¡Qué herramienta tan maravillosa es el ordenador para simular, hacer pruebas, verificar conjeturas o modelar un fenómeno! Luego, no habrá que olvidar demostrar…

Las cuestiones relacionadas con la explotación, la gestión y la redistribución de los recursos se encuentran entre las más importantes que se han planteado a nuestras sociedades. Estos recursos también generan contaminación, cuyos efectos en nuestra salud es importante comprender. Ya sea la gestión del agua o la producción de energía, se ha vuelto imperativo movilizar todas las competencias para optimizar el acceso al mayor número de personas. Las matemáticas están en primera línea al proponer metodologías y modelos, que serán la fuente de las mediciones, las interpretaciones y las conclusiones de los científicos.

Ya se construyan, se dispongan, se tejan, ya se trate de hacer tejados o simplemente formas bellas, la fabricación de superficies es un extraordinario puente entre las matemáticas y las aplicaciones. Pensemos en la confección de un balón de fútbol. Con frecuencia son las cuestiones prácticas las que plantean desafíos a los teóricos, pero a veces, por el contrario, es la belleza abstracta de la geometría la que inspira a creadores o arquitectos. Las propiedades de las superficies no han dejado de asombrar y de suscitar nuevos desafíos matemáticos.

Para hablar de fracciones, a menudo empezamos evocando la idea de reparto equitativo. Sin embargo, incluso ciñéndonos a su definición habitual, este enfoque no hace justicia a la riqueza y variedad de usos que se les puede dar, que van desde la definición de nuestras notas musicales hasta el manejo de los engranajes. Por su parte, el teorema de Tales hace que la geometría también sea muy partidaria de fracciones. Las fracciones egipcias, es decir, aquellas de numerador 1, parecen haber sido las primeras en ser consideradas. Su nombre por sí solo indica que su edad se cuenta en milenios, y tal vez debamos explicarlo por el hecho de que, en cierto modo, un tercio, un cuarto, un quinto, y más generalmente un enésimo son las fracciones primeras, de las que todas las demás se deducen por simple multiplicación por un entero.

Una tendencia frecuente respecto al valor 1/2 es querer a toda costa escribirlo en la forma 0,5. El valor 1/3, cuya expresión decimal no tiene fin (0,333…), ofrece sin embargo un ejemplo sencillo de la superioridad de la notación fraccionaria sobre la notación decimal, al menos en un contexto matemático. El desarrollo decimal no ha dicho sin embargo su última palabra, ya que el de una fracción es siempre periódico, por lo que también se expresa en una forma finita, aunque sea a su manera. Por otra parte, existe un vasto conjunto de números, como √2 o π, que no se pueden expresar en la forma a/b (con a y b enteros). A pesar de este fracaso para representar todos los reales, las fracciones siguen siendo una herramienta crucial para explorar el concepto fundamental de proporcionalidad, en el que se entrelazan nociones matemáticas y pedagogía escolar.

Si el nombre de Gabriel Cramer es hoy indisociable de la famosa regla aprendida en el instituto para resolver sistemas lineales, su obra va mucho más allá. Matemático, profesor, editor, es también, y no es una palabra débil, un «amable erudito», para reprendre el bonito recuerdo que tiene de él Daniel Bernoulli. Su obra maestra sigue siendo su Introducción al análisis de líneas curvas algebraicas, publicada en 1750 y celebrada por D'Alembert en una decena de artículos de la Enciclopedia. Descubramos sus contribuciones al álgebra, con también la prueba de lo que será llamado teorema de Bézout, e incluso el sorprendente «paradoja» de Euler-Cramer.