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Si el nombre de Gabriel Cramer es hoy inseparable de la célebre regla aprendida en el instituto para resolver sistemas lineales, su obra va mucho más allá. Matemático, profesor, editor, es también, y no es una palabra menor, un « amable sabio », para reprendre el hermoso recuerdo que tiene de él Daniel Bernoulli. Su obra maestra sigue siendo su Introducción al análisis de las líneas curvas algebraicas, publicada en 1750 y celebrada por D'Alembert en una decena de artículos de la Enciclopedia. Descubramos sus contribuciones al álgebra, con también la demostración de lo que será llamado teorema de Bézout, e incluso el sorprendente « parodoxo » de Euler-Cramer.

Si a veces se tiene la imagen de un Blaise Pascal muy asceta, retirado en un convento, no hay que olvidar sus múltiples rostros. También conoció una vida mundana trepidante, como muestra su interés por la noción de apuesta suscitada por los juegos de azar. Es también un empresario avisado que sabe detectar las ideas innovadoras o visionarias. Pascal se inscribe en numerosos debates de su época, en ciencia, en teología o en filosofía. La calidad de su escritura, su humor cáustico y la solidez de su razonamiento dan en el blanco.

Tomar la medida de la complejidad de la biodiversidad pasa por un modelado fiable y realista de los ecosistemas. Las matemáticas ofrecen varios tipos de herramientas, como los sistemas dinámicos para los modelos presa-depredador, o el álgebra lineal para comprender las dinámicas de evolución de las poblaciones. Es importante dominar estas técnicas extremadamente sensibles a las condiciones iniciales, a las precisiones de los parámetros y a los errores de cálculo, bajo pena de predecir la extinción de una población no amenazada… o lo contrario.

Padre de la teoría de conjuntos, Georg Cantor resulta ser uno de los pioneros de una reflexión sobre los fundamentos de las matemáticas que contribuirá a transformar la historia de las ciencias. En el centro de conjeturas de las cuales algunas siguen sin resolverse, a veces rechazado por los matemáticos de su época, permanecerá como el hombre que buscó domar el infinito. Multiplicidad de los infinitos, hipótesis del continuo, relaciones inesperadas entre ciertos conjuntos de números, condiciones suficientes para que existan biyecciones entre dos conjuntos o, por el contrario, que no existan… Cantor desbroza frenéticamente todos los frentes, a veces cometiendo algunos errores o siendo incapaz de explicar ciertos paradojas, pero abre la puerta a un nuevo enfoque del fundamento de las matemáticas que le sobrevivirá durante mucho tiempo.

Gilles Cohen tenía una visión: la de una apertura completa de las disciplinas, donde las ciencias serían parte integrante de la cultura, donde las matemáticas estarían al lado de los otros campos del conocimiento en las conversaciones. Por sus numerosos proyectos, el director histórico de las Éditions POLE y de la revista Tangente no escatimó esfuerzos para dar cuerpo a este enfoque. Gilles Cohen ya no está, pero la lucha que libró es igual de relevante hoy en día como en los inicios de Tangente. Ahora, corresponde a todos los que él inspiró continuar sembrando semillas de matemáticas. Este dossier es un homenaje de la redacción a Gilles y a sus acciones a favor del desarrollo de la cultura matemática para todos.

En los juegos de información perfecta, los grafos juegan un papel fundamental: permiten en teoría, remontando desde las situaciones finales, saber si una situación es ganadora o perdedora para quien la hereda. La realidad es más complicada, en particular cuando el número de situaciones, como en el juego de go, es demasiado importante. Pero teorías elaboradas permiten conocer su ventaja o su retraso sobre el adversario o aún hacer confluir juegos que, a priori, no tenían puntos en común. El célebre juego de Nim forma parte de estas referencias.

Algunos grandes problemas de optimización poseen una solución algorítmica eficaz. Es el caso cuando se trata de encontrar el camino más corto entre un número inmenso de posibilidades, de hacer transitar un flujo (de electricidad, de agua, de información…) por una red o de resolver un programa « lineal », sin necesidad de enumerar todas las soluciones potenciales. Estas preguntas tienen la buena fortuna de pertenecer a la clase P de los problemas que pueden ser resueltos en tiempo « razonable » (a veces polinomial). Los algoritmos asociados, de los cuales algunos, como el simplejo, están clasificados entre los diez más importantes del siglo xx, han grabado el nombre de su descubridor en la historia de la informática: Dijkstra, Ford y Fulkerson, Bellman…

Todo comienza con Apolonio de Perge, cuyo monumental tratado sentó las bases de una geometría que no será superada sino dos milenios más tarde. El siglo xvii lo颠覆rá todo: Descartes, Pascal y Desargues se apropian de las secciones cónicas y las transforman, combinando álgebra, perspectiva y teoría. Kepler – conmemático de genio pero también matemático prodigioso – es sin duda uno de los primeros en unificar el concepto de sección cónica en un objeto coherente que explora tanto en el estudio de los poliedros como en el de las órbitas celestes. Finalmente, la geometría proyectiva, al llevar el infinito al mismo estatus que lo finito, revela que tras la diversidad de las curvas se oculta una profunda unidad.

Las matemáticas están cada vez más presentes en medicina, en particular para las necesidades de la imagenología médica. Así, desde hace más de un siglo, técnicas no invasivas permiten ver lo invisible. Desde la obtención de la imagen a partir de los datos proporcionados por la física, pasando por las diversas fases de su mejora, hasta su interpretación para ayudar al diagnóstico, los algoritmos de procesamiento se mejoran constantemente. Todo el mundo ha oído hablar del escáner, que permite mediante la reconstrucción tomográfica, obtener cortes de objetos. Las matemáticas de la imagenología médica también se emplean para simular el funcionamiento de un órgano o verificar el diseño y la colocación de prótesis. Y cuando se trata de estudiar un objeto complejo como el cerebro, la visualización resulta particularmente sofisticada.

Inventar lo inexistente, explorar mundos desconocidos, desplazarse « de otra manera »... Las superficies permiten a los teóricos dar rienda suelta a su imaginación, para construir, por ejemplo, objetos de un género nuevo que permiten comprender mejor la trayectoria de una bola de billar. Nada detiene la creatividad, que incluso llega a explicar, con las « fractales lisas », cómo hacer caber la Tierra en un globo o un dedal… ¡Las matemáticas conducen hoy a verdaderos milagros!