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En el universo de los números reales, cuando uno no es trascendente, es algebraico. Es decir, para estos últimos, soluciones de una ecuación algebraica con coeficientes enteros. Este es el caso, por ejemplo, de todos los números constructibles con regla y compás. Pero aunque algunos pueden escribirse mediante radicales, este no es el caso de todos, y su estudio nos devuelve frecuentemente a la teoría de ecuaciones iniciada por Galois en el siglo XIX. Otra especificidad del conjunto de los números algebraicos es poseer una estructura: la suma, el producto y el cociente de dos de ellos es también algebraico. Estamos, por lo tanto, ante la presencia de un cuerpo, noción muy importante en el álgebra moderna.

En el siglo XIX, en Francia, la escuela toma poco a poco el papel que hoy conocemos y se llega a pensar, gracias a diversos movimientos feministas, que sería útil que las niñas también asistieran para aprender a reflexionar. A partir de entonces, se necesitan profesoras de matemáticas y se crea una agregación femenina de matemáticas. En paralelo, en Inglaterra, en Estados Unidos y en Alemania, se abren oportunidades. Al otro lado del Atlántico, la universidad de Bryn Mawr, reservada para chicas, se convierte en un centro de gran dinamismo que forma generaciones de matemáticas. En Alemania, la universidad de Göttingen acoge a un número cada vez mayor de jóvenes investigadoras.

Visual, sorprendente y rica en aplicaciones (la estructura del balón de fútbol es la más conocida), ocupa un lugar en el panteón de las más bellas fórmulas matemáticas: S + F = A + 2. Si el estudio de los poliedros fascinaba ya a Platón, la relación que conecta el número de sus vértices, sus caras y sus aristas había sido anticipada por Descartes antes de ser expresada rigurosamente por Euler, el matemático suizo que le dio su nombre (¡es lo justo!). Poincaré se propuso generalizarla, pero aún está lejos de haber revelado todos sus secretos.

Nos viene de la Antigüedad y es una joya de la geometría del plano. Mucho más reciente y menos conocida que los teoremas de Tales y de Pitágoras, la fórmula de Herón permite determinar el área de un triángulo con solo conocer la longitud de sus lados. Esto es solo la parte visible de la pirámide pues esta pepita geométrica se generaliza ampliamente más allá del triángulo. Así, el genial Euler encontró una versión asombrosa para el tetraedro. Brahmagupta y luego Bretschneider propusieron una variante para los cuadriláteros. Por último, al igual que su ilustre predecesor el teorema de Pitágoras, la fórmula de Herón puede dar lugar a investigaciones aritméticas asombrosas, como la de los « tripletes heronianos ». ¡Bienvenidos a la geometría!

¿Se puede tratar la geometría como una rama del álgebra? Este es el enjeu del uso de los espacios vectoriales. Las repercusiones son espectaculares: « algebraicizar » la geometría permite revisar la más antigua de las ciencias, de generalizarla a contextos inesperados o más abstractos, de ganar en rigor, de adoptar un enfoque más sistemático y calculatorio, de repensar la noción de espacio, y de descubrir nuevos resultados. Esta nueva « matemática sin figuras », conserva la intuición geométrica, pero va mucho más allá... Al extender la noción de distancia introducida por los espacios euclidianos, la introducción de los espacios vectoriales normados, que permite ampliar el campo de los espacios vectoriales al análisis funcional, da lugar a una nueva cosecha de resultados y aplicaciones.

El plegado de papel no es solo una agradable distracción que enseña paciencia, precisión y rigor. Es también una formidable oportunidad para interrogarse sobre la geometría. Los resultados matemáticos que se encuentran al interesarse por el origami son en efecto numerosos, profundos y ricos en sorpresas. Se puede así construir de manera exacta números inaccesibles a la regla y al compás de la geometría euclidiana. O obtener toda forma poligonal con la ayuda… de un solo golpe de tijeras. O aún identificar los mapas de pliegues resultantes de un plegado "verdadero" gracias a algunos invariantes elementales pero descubiertos recientemente nada más. El plegado de papel, ¿una disciplina matemática? ¡Eso no es ni un pliegue!

La geometría discreta es un dominio en la intersección de varias disciplinas, como la geometría, la aritmética o la combinatoria. Para hacerse una idea, imaginemos reemplazar el plano euclidiano, continuo, por una cuadrícula, formada por puntos con coordenadas enteras. Los objetos geométricos que encontramos en ella son, por ejemplo, polígonos cuyos vértices se encuentran en estos puntos. ¿Se puede definir en ella una línea, un círculo? Estas preguntas se plantearon con particular intensidad a partir de los años 1950, cuando hubo que representar imágenes en pantallas, conjuntos discretos de píxeles. Numerosos problemas de geometría discreta siguen abiertos y conducen a apasionantes desarrollos.

Desde hace milenios, los marineros (y más recientemente los alpinistas) utilizan nudos para atar sus cuerdas. Los entrelazados, ya presentes en el arte decorativo romano, se encuentran en los motivos islámicos y celtas. A finales del siglo XIX, Tait y Thomson, a través de una hipótesis –que se reveló falsa– de enlaces químicos que se entrelazarían, hicieron entrar los nudos en el ámbito de las matemáticas. ¿Le gusta anudar cuerdas o desenmarañar los ovillos de lana? ¡La teoría de nudos es para usted! No faltan los desafíos matemáticos. Sin saberlo, Gauss, al estudiar ciertas curvas, había sentado las bases de esta teoría, que permite generar los nudos de manera sistemática, clasificarlos, comprender sus vínculos con la teoría de grafos o distinguirlos «de un vistazo» mediante un invariante completo… que aún queda por construir.

La revolución relativista ya había golpeado las teorías newtonianas. La causa parecía zanjada: los físicos disponían finalmente de «la gran teoría universal» que les permitiría explorar metódicamente el universo, desde lo infinitamente grande hasta lo infinitamente pequeño. ¡Lo infinitamente grande, quizás! Pero el mundo subatómico se niega obstinadamente a someterse a las leyes clásicas. Nuevas teorías reinan como soberanas en estos reinos. Las matemáticas fueron convocadas al rescate con el fin de expresar, formalizar y explicar los numerosos fenómenos, contraintuitivos para nuestros sentidos y nuestras escalas, que tienen lugar en mecánica cuántica.

La noción de orientación permite multiplicar la potencia y las aplicaciones de la geometría. ¿Cómo orientarse en una recta, en un plano, en el espacio? ¿Por qué ciertos objetos, como la famosa banda de Möbius, son llamados «no orientables»? ¿Por qué las agujas de los relojes giran en un sentido y no en el otro? Todas las elecciones de orientación no son arbitrarias y, como frecuentemente en la historia de las ciencias, hicieron falta varias décadas para pasar de la intuición al rigor sobre estas cuestiones. Si se siente un poco perdido, debería encontrar su camino en las páginas que siguen…