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Con la elipse y la hipérbola, la parábola es la tercera cónica no circular. Se podría creer que sus propiedades son bastante banales en la medida en que su ecuación algebraica es una de las más simples. Su definición, también, es elemental: un punto y una recta son suficientes para dibujarla. Sin embargo, abre posibilidades sorprendentes, ya se trate de su construcción que puede revelarse muy lúdica y pedagógica, de sus tangentes que encierran numerosas joyas, de su cuadratura que permite sutiles razonamientos, sin contar todos los teoremas que le están relacionados o todas las aplicaciones que genera. Bienvenido a un universo donde una simple curva se convierte en espejo del mundo

Interesarse por otras culturas implica salir del eurocentrismo natural que nos es propio. Por lo tanto, cuestionar la existencia de "nuestra" demostración, derivada de Euclides, en las matemáticas extremo-orientales resulta caduco. Es, en cambio, formativo seguir la importación y la difusión de esta noción. El estudio del impacto de este evento permite así comprender la distancia entre diferentes prácticas de las matemáticas. ¿Cómo se plantea una ecuación? ¿Cómo se calcula? Los métodos son numerosos y su descubrimiento resulta fructífero, incluso para aquellos que la tradición matemática en China pudo olvidar de su propio pasado.

Desde Euclides, la recta es la base de la geometría. La mayoría de las figuras las contienen y numerosos teoremas han enfrentado el desafío de demostrar que ciertos puntos están alineados; de esto se deduce la existencia de rectas notables, como las de Euler o de Simson (ver al margen). Las rectas parecen « guiar » las curvas y las superficies. Una curva se asimila localmente a su tangente, en el infinito a su asíntota. Puede ser definida por una familia de rectas que resultan ser todas tangentes a ella: es la envolvente. Encontrar rectas en una superficie conduce a construirla mejor. Cosa sorprendente, ciertas superficies son incluso una reunión de rectas ¡mientras todo parece curvo en ellas!

Representar los números reales como los puntos de una recta es una idea que revolucionó tanto la geometría como el análisis. Descartes, al localizar los puntos del plano mediante dos números, desempeñó un papel fundamental en ello. Desde su aporte, se sabe expresar una recta mediante una ecuación. La construcción de los números reales en el siglo XIX representa la culminación de la transición de una visión intuitiva de la recta hacia una representación axiomática. Este enfoque permitió interesarse por la noción de « proximidad » de los puntos, definir un intervalo y, de manera más general, examinar la topología de la recta real.

La llegada de las teorías relativistas ideadas por Albert Einstein a principios del siglo XX ha revolucionado nuestra comprensión del universo. Las ecuaciones del nuevo modelo guardan su cantidad de sorpresas matemáticas, y por lo tanto de fascinación. La gravitación se convierte en una manifestación de la geometría, los espacios no euclidianos se imponen, la formación de singularidades teóricas hace presagiar el descubrimiento de agujeros negros y otros objetos muy concretos, los tensores imponen nuevos formalismos… Un nuevo mundo, donde la cosmología se apoya en las matemáticas, se enriquece día a día y está lejos de haber revelado todos sus secretos.

En la época en que Galois comienza a interesarse por las matemáticas, los polinomios se estudian desde hace mucho tiempo y las sustituciones y grupos de permutación ya fueron introducidos por Lagrange y estudiados por Cauchy. Ruffini y Abel habían demostrado previamente que no es posible en general resolver de manera algebraica las ecuaciones polinómicas de grado 5 o superior. Entonces, ¿cuál es la contribución de Galois? Más allá de resolver un problema, abrió un nuevo campo de las matemáticas mostrando hasta qué punto un grupo podía codificar las propiedades fundamentales de un polinomio.

¡Se lanza una saga de los grandes teoremas matemáticos! A todo grande, su honor: el rey de la geometría del triángulo, el teorema de Tales, abre el baile. Su nombre quedará por siempre asociado a un célebre sabio que vivió en Grecia en el siglo VI antes de nuestra era. Y su contenido transformará para siempre las matemáticas, pero también otras ciencias como la óptica o la astronomía. Pero ¿cómo estar seguro de que Tales es el padre de este resultado tan importante? A menudo, en efecto, un teorema recibe su nombre más en homenaje a un matemático que por el apellido de su descubridor (no siempre identificado)*… La cuestión es, en definitiva, intrascendente frente a las magníficas pepitas y las bellas historias que evoca el nombre del teorema. (* Leer el artículo Dime, teorema, ¿cuál es tu nombre?)

Ver, manipular, aprender... Los objetos matemáticos, ya sean instrumentos, juegos, herramientas, rompecabezas, soportes, esculturas, obras de arte, son un medio privilegiado para apropiarse de un concepto abstracto, incluso una noción sutil… «¡Hacer sentido!» parece ser su razón de ser, desde el primero de ellos, el hueso de Ishango, hasta la simple regla graduada utilizada por todos los escolares. Algunos modelos geométricos, además del asombro que pueden suscitar, nos permiten comprender propiedades no siempre evidentes… incluso a partir de un simple cubo !

Pythagore es mucho más que un matemático, cuyo teorema, famoso desde la Antigüedad, atraviesa las generaciones y ha suscitado a lo largo de los siglos un número impresionante de demostraciones. Se hable con deferencia de la escuela pitagórica o con desconfianza de la secta de los Pitagóricos, no se puede olvidar que este personaje misterioso, del cual se ignora casi todo, está en el centro de un edificio filosófico perpetuado por sus discípulos que ha influido, más allá de las matemáticas y de la astronomía, en la propia música.

Es asombroso, pero el azar está gobernado por una ley. La ley normal es omnipresente en matemáticas y de manera más general en todas las ciencias. ¿Cómo Gauss lo intuyó gracias a la astronomía y Laplace por extensión de la ley binomial? ¿Qué es lo que le da su fuerza? ¿Qué papel играет el teorema del límite central en esta aventura? Los sondeos de opinión son una aplicación de este resultado, pero hay que relativizar su fiabilidad, ya que algunos errores se deben a la elección de las muestras y a los métodos de realización.