Aunque ya a mediados del 18.º siglo grandes matemáticos como de Moivre, Laplace y Gauss habían observado y cuantificado fenómenos de regularidad estadística, hubo que esperar hasta el 20.º siglo para que se propusieran formalizaciones completas y demostraciones convincentes de estas propiedades. A menudo se reduce el conjunto de las leyes de los grandes números al único teorema denominado «teorema central del límite». Esta denominación se debe al matemático George Pólya, que la empleó en un artículo fechado en 1920 y titulado «Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung», que puede traducirse literalmente como «Sobre el teorema central del límite del cálculo probabilístico». ¿Cuál es el contenido de este teorema? Se refiere a lo que se denomina «convergencia en distribución», es decir, «en distribución de probabilidad». ¡Este resultado se refiere a las distribuciones de probabilidad de las variables, y no a las propias variables!
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La distribución normal
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La distribución normal posee la agradable propiedad de ser estable respecto de la suma, lo que facilita su tabulación: toda combinación lineal de distribuciones normales independientes es también una distribución normal. Este teorema tiene un recíproco: si una suma de variables aleatorias independientes es normal, ¡entonces cada término de la suma también lo es! Pero hay mucho más. Toda suma de variables independientes e idénticamente distribuidas (que obedecen a la misma distribución de probabilidad, lo que se denota «i.i.d.» en referencia a la expresión «independientes e idénticamente distribuidas»), de varianzas finitas, pero no necesariamente normales, es asintóticamente normal.
