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Cuando un objeto elástico puede, cuando se deforma de manera continua sin rasgarlo, tomar la forma de otro objeto, tienen la misma estructura topológica: se dice que son homeomorfos. Una esfera y un cubo (ambos huecos) son homeomorfos, pero no lo son con un toro. La topología aporta un complemento fundamental al análisis y a las definiciones de límite o de continuidad al introducir nuevas nociones como la compacidad. Bienvenidos a esta geometría «no como las otras»…

La geometría arabo-musulmana se fundamenta en los tratados griegos para profundizar en ellos. Es el caso de los tratados de Euclides, de los cuales algunos se han perdido en el original griego, pero que se logra reconstruir gracias a los comentaristas de lengua árabe que, además, nos ofrecen trabajos originales como demostraciones muy hábiles del teorema de Pitágoras. También es el caso en lo que respecta a la astronomía, durante mucho tiempo considerada como una ciencia fundamentalmente geométrica. Más sorprendentemente, esta profundización geométrica se encuentra también en álgebra donde se utiliza para elaborar métodos generales de resolución. Así, la geometría se inscribe en una tradición que los sabios de los países del Islam prolongan y refinan considerablemente.

El número áureo puede definirse simplemente por la ecuación de segundo grado de la cual es una de las raíces. Pero sus múltiples propiedades geométricas y aritméticas lo convirtieron en ciertas épocas en un objeto místico. Descubierto en construcciones antiguas o en nuestro entorno natural, incluso, bajo la denominación de « proporción divina », ha sido considerado como el canon estético de las obras de arte, o incluso, desde los pitagóricos, como una prueba de la armonía del mundo. Este dossier se propone volver a colocarlo en un universo objetivo separando las construcciones matemáticas, cuán astutas, que ha permitido, de los delirios de los que a veces ha sido objeto.

El pensamiento científico permite distinguir entre opinión, creencia y ciencia. Herramienta indispensable de todo ciudadano, es objeto, por iniciativa de Henri Broch en los años 1980, de una enseñanza de metodología científica a los estudiantes. Lo nombró zetetica, recuperando así un antiguo término utilizado por escritores y filósofos desde Viète. La utilización de este espíritu crítico para desmontar las creencias en lo paranormal ha contribuido a dar a conocer la zetetica al público en general. Las matemáticas, en particular la interpretación de las estadísticas y la famosa paradoja de Yule-Simpson, ofrecen herramientas de razonamiento que permiten no caer en el oscurantismo intelectual y demostrar el carácter perfectamente natural de ciertos fenómenos.

La idea de agrupar los enteros según el resto de su división por un número dado es antigua como la aritmética. Desde el « teorema de los restos chinos », heredado de la China antigua y estudiado hasta el siglo XIII, hasta el de Fermat, el dominio conocerá numerosos progresos, hasta la llegada de Gauss, que formalizará la noción de « congruencia » y firmará el acta de nacimiento de la aritmética modular. Esta nueva y potente visión de los números, que permite abarcar la infinidad de los enteros en un modelo finito, se aplica también a dominios concretos: la prueba del 9, los ciclos de los calendarios, los códigos de seguridad... También se encuentra en música y produce algunas bonitas curiosidades, como ciertos tours de magia.

En temporada de broncearte inteligentemente, aprovechen este número para desentumecer las neuronas resolviendo acertijos matemáticos de los cuales algunos son fuera de lo común. ¿Cómo? ¡Sin pánico! Nuestro informe volverá a poner el cerebro en forma recordándoles, con ejemplos, las principales técnicas de demostración. El imprescindible principio de recurrencia y el inagotable principio de los cajones están obviamente incluidos. Desde Alcuino de York antaño hasta Terence Tao hoy, los grandes matemáticos siempre han sido aficionados a los bellos problemas, mientras que divulgadores, como Martin Gardner, destacaban en el arte de conducirlos hacia una solución elegante.

Las recreaciones sobre los cortados geométricos (o disecciones) se encuentran en todas las civilizaciones. Los cuadrados, los rectángulos, los polígonos y, desde hace unos cincuenta años, los poliominós, proporcionan una mina inagotable de acertijos cuya elegancia reside a menudo en la sencillez. Este campo de la geometría también esconde verdaderas preguntas matemáticas: ¿dos figuras de la misma área pueden ser obtenidas una a partir de la otra mediante un simple par de tijeras? Un teorema responde a la pregunta.

En los confines de la aritmética, del álgebra y del análisis se encuentra un ilustre desconocido: Diofanto. Si no sabemos nada de su vida, las ecuaciones que llevan su nombre han dado lugar a una vasta literatura vinculando a grandes nombres como Pitágoras, Euclides, Fermat, Bezout, Bachet de Mézirac, Lagrange, sin olvidar, entre tantos otros, Hipatia y Sophie Germain. Este dosier es así la ocasión de descubrir la historia de las ecuaciones diofánticas, de mostrar un rostro de Fermat menos conocido que el de su famoso «gran teorema» así como de maravillarse ante la ingeniosidad matemática gracias a resoluciones ingeniosas en forma… de billar!

¿Qué se entiende por el término « conjetura » ? ¿En qué han hecho progresar las mates ? A los matemáticos no les gusta que un resultado les resista : se dedican regularmente a buscarlo hasta encontrarle una solución. El gran teorema de Fermat mantuvo en vilo al mundo matemático durante tres siglos y medio. Sin embargo, existen muchas otras conjeturas más o menos célebres, pendientes (Goldbach o la hipótesis de Riemann), refutadas o resueltas (algunas incluso muy recientemente). ¡Descubra cómo el matemático prodigio Terence Tao demostró la conjetura de discrepancia de Erdös !

¿Qué tienen de tan notable estas célebres « identidades »? ¿Por qué algunas heredan este calificativo? No es que falten fórmulas elegantes y concisas en matemáticas... Pero no rechacemos nuestro placer, y volvamos sobre estas relaciones.