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El «triángulo de Pascal» es una extraña tabla de números, imaginada mucho antes del filósofo y matemático francés: desde la India hasta China pasando por el mundo arabomusulmán, ha fascinado a generaciones de científicos. Reconozcamos al sabio francés de haberle dado toda su importancia y de haber justificado numerosas fórmulas inesperadas que interactúan entre sus elementos. Se conoce el uso de este objeto combinatorio en cálculo de probabilidades, en el desarrollo del binomio. Tal vez se ignoren todos los rincones donde se oculta…

Literatura y mates, ¿es un oxímoron? Este año también, para la undécima edición del premio Tangente del libro, las obras seleccionadas demuestran lo contrario. Es la oportunidad de aprobar el que prefieran votando por él. Aprovechen también el verano para hacer nuevos descubrimientos y hacer una sabia elección de libros sobre las matemáticas, gracias a las numerosas reseñas publicadas en nuestros diferentes números, en particular en este dossier. Los apasionados de la escritura y la divulgación están incluso invitados a tomar la pluma en el marco del premio Tangente del mejor artículo.

A primera vista, la derivada, en la frontera entre la física y las matemáticas, no es nada más que la velocidad instantánea de un móvil. Pero ¿cómo definirla con más precisión? Intente, pues, sin usar los límites... ¡parece que se divide cero por sí mismo! Los mayores genios, de Fermat a Cauchy pasando por Newton, tardaron siglos en establecer rigurosamente y en toda generalidad este concepto. Sin embargo, la encontramos en todas partes, en todo lo que varía; ¡permite prever el futuro en todo fenómeno determinista! Un ejemplo de actualidad: su tasa de imposición y la derivada hacen muy buena pareja...

En la historia del desarrollo del pensamiento científico, a menudo es difícil distinguir lo que corresponde a las matemáticas de lo que es iniciado por la física. Los sabios se limitaban entonces raramente a un único dominio. El papel de las matemáticas evoluciona después, a medida que el físico cambia de paradigma: herramienta de cálculo, reservorio de modelos, instrumento predictivo… Desde el método de exhaución ya utilizado por Arquímedes hasta las ecuaciones de Fourier y Maxwell, los ejemplos por explorar son numerosos.

¿Quién habría apostado, en 1987, cuando unos apasionados tuvieron la idea descabellada de crear una revista profesional dedicada al lugar de las matemáticas en el mundo que nos rodea, que Tangente, el título que le habían dado, seguiría existiendo 30 años más tarde y se convertiría en la referencia universal en materia de cultura matemática? Para celebrar este aniversario, el Museo de artes y oficios, abierto gratuitamente el domingo 3 de diciembre, permitió a miles de aficionados asistir a numerosos eventos: visitas, animaciones, talleres, firmas de libros, exposiciones artísticas, conferencias, espectáculos, entrega de premios del concurso Affaire de Logique.

La irrupción, en la época de los griegos, de la noción de irracionalidad, con la imposibilidad, para ciertos números de escribirse como un cociente de enteros, ha sido un momento importante de las matemáticas. Cada nuevo número fue entonces sometido a la pregunta: ¿fracción o irracional? La demostración, en el siglo XIX, de la irracionalidad de números como π o e, agregó un grado a la categorización: a diferencia de otros, como √2, no eran solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros. Fueron llamados trascendentes, como para recordar que provenían de un mundo superior. En realidad, casi todos los números reales son trascendentes pero para algunos irracionales, la cuestión permanece abierta.

Desde la delimitación electoral hasta la organización de un servicio hospitalario, pasando por la protección de la biodiversidad o el uso de las energías renovables, las aplicaciones de la investigación operativa conciernen a ámbitos muy variados, a veces inesperados, donde sus métodos de modelización y sus herramientas permiten ayudar al ser humano en su toma de decisiones. El objetivo: encontrar una solución óptima (o al menos «no demasiado mala») entre un gran número de posibilidades. La I.O. permite el diseño, la configuración y la explotación de sistemas complejos que tienen una gran importancia en las empresas o para las administraciones territoriales.

¿Qué mejor que un polinomio para aproximar, en las cercanías de un punto, una función tan elaborada? Mejor aún: si esta última es «suficientemente regular», los coeficientes de su desarrollo limitado son sus derivadas sucesivas; es la famosa fórmula de Taylor que nos lo enseña. Sin embargo, tenemos sorpresas: la correspondencia entre el desarrollo limitado de cualquier orden y el desarrollo de Taylor a veces falla. Maravillas de las matemáticas, y particularmente del análisis, nadie puede prescindir de los desarrollos limitados. Son, en efecto, indispensables en los cálculos de límites de funciones, en el estudio de puntos particulares de una curva, sino también en cálculos de probabilidades.

Solo se habla de ella, sin necesariamente saber lo que abarca. La economía estudia la producción e intercambio de bienes de consumo, en la base de la mayoría de las actividades humanas. El trueque de las primeras sociedades se desarrolló en un sistema complejo. Es importante comprender las nociones esenciales, mencionadas constantemente pero cuyo significado, muy a menudo, se ignora: la moneda (cada vez más virtual), la inflación, el PIB, y los principales indicadores que estructuran y condicionan la salud de los Estados y de los ciudadanos.

¿Qué tienen en común la mediatriz de dos puntos, una elipse, una estrofoide o una cáustica? Son lugares geométricos que responden a condiciones predefinidas provenientes de consideraciones puramente matemáticas o de problemas sacados de la física. La introducción de la geometría analítica y luego del cálculo diferencial revolucionaron los métodos de búsqueda de tales lugares. Ingeniosos sabios diseñaron mecanismos, máquinas específicas para trazarlos. La llegada de la informática transformó el panorama y dio origen a nuevas cuestiones geométricas.