Los coeficientes binomiales, omnipresentes en las matemáticas y, en particular, en combinatoria y probabilidad, se definen mediante
(n k )=n!k!(n−k)!,\begin{pmatrix}n\\\ k\\\ \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} ,
donde k y n son dos números enteros tales que 0 ≤ k ≤ n.
La construcción del triángulo de Pascal utiliza la siguiente propiedad:
(n k)+(n k+1)=(n+1 k+1).\begin{pmatrix}n\\\ k\\\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}n\\\ k+1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1\\\ k+1\\\end{pmatrix}.
Dicho de otro modo, si las filas y las columnas se numeran de 0 a n, el coeficiente de la fila n + 1 y de la columna k + 1 es igual a la suma del coeficiente de la fila superior (fila n, columna k + 1) y del coeficiente anterior (fila n, columna k). Estos coeficientes se utilizan en ámbitos muy diversos. Por ejemplo, para desarrollar (x + y)*n mediante la fórmula del binomio de Newton, para calcular probabilidades asociadas a una variable aleatoria que sigue una distribución binomial, para determinar los polinomios de Bernstein que sirven para construir curvas de Bézier… El triángulo de Pascal puede incluso utilizarse en análisis cuando se trabaja con funciones en las que interviene una potencia, como, por ejemplo, t ?2n-*1 (cost)*n, donde n* es un número natural. Tales funciones, periódicas e integrables, pueden considerarse señales (sonidos, vídeos, etc.), que por tanto pueden manipularse como tales para diversas aplicaciones: compresión o transmisión de información…
Una etapa imprescindible en estas aplicaciones consiste en calcular la transformada de Fourier de la señal. Si f es una función integrable en R\mathbb{R}, se llama transformada de Fourier de f a la función
Fx:x↦∫−∞+∞f(t)e−xtidt.\text{F}_x:x\mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-xti}dt.
Esta operación permite pasar de una función integrable considerada como una señal a otra función que describe características físicas de dicha señal (amplitud, fase, frecuencia de la señal).
Las ventajas del cálculo formal
Todos los cálculos se realizarán con la calculadora formal fx-CP400+E\. Esta incorpora, en efecto, un sistema de cálculo formal (Computer Algebra System, o CAS, en inglés) que permite efectuar cálculos simbólicos, por ejemplo x + x = 2x, sin haber asignado ningún valor a x*.
La calculadora formal fx-CP400+E nos facilitará la tarea, ya que primero podremos ejecutar un programa que depende de n, después calcular la transformada de Fourier de las funciones t ?2*n-*1 (cost)*n y, por último, evaluar sumas hasta el número entero n. Todo ello para varios valores de n, escribiendo de forma natural, sin necesidad de repetir los cálculos en cada etapa. La elevación a la potencia n en la expresión de la función permitirá, al escribir cos t en la forma (ei t + e–i t*) / 2, hacer intervenir de manera natural los coeficientes binomiales.
Comencemos construyendo un programa que genere las n primeras filas del triángulo de Pascal. Vaya al menú **Programa
** .
Cree el programa que aparece a continuación pulsando Editar y después Nuevo archivo.
Es posible introducir el número n directamente en los parámetros del programa (arriba a la derecha, señalado con un círculo rojo), lo que permite utilizar este programa en el menú Principal. Así tendremos una visión global de todos nuestros cálculos: transformadas de Fourier y triángulo de Pascal.
He aquí algunos comentarios y explicaciones:
• Ident(n) genera la matriz identidad de tamaño n;
• A[l, k] corresponde al coeficiente de la l ésima fila y la k ésima columna de A. Se usa que A[l, k] es igual a la suma del coeficiente de la fila superior, A[l – 1, k], y del anterior, A[l – 1, k – 1]. También se podría haber diseñado un programa utilizando los coeficientes binomiales. La tecla correspondiente,
, se encuentra en el teclado Avanzado;
El triángulo de Pascal se guarda en la matriz A; un mensaje mostrará esta información cuando se ejecute el programa.
La calculadora formal fx-CP400+E propone cinco definiciones de la transformada de Fourier. Aquí elegimos el formato Matemático en los ajustes
del menú Principal ![](img/TG176_38_picto3.jpg).
Calculemos ahora la transformada de Fourier de la función t ?2*n-*1 (cost)*n, para varios valores de n*. La transformada de Fourier se encuentra en el teclado Avanzado.
Cada vez se muestran las n + 1 primeras filas del triángulo de Pascal; la última fila proporciona los coeficientes binomiales (n k)\begin{pmatrix}n\\\ k\\\end{pmatrix}.
Es más sencillo escribir todos los cálculos en función de n, como se muestra a continuación. Después basta con cambiar el valor de n al principio; la calculadora vuelve a realizar todos los cálculos.
Para n = 5, se obtiene (la función δ\delta designa la función delta de Dirac, definida por δ\delta(0) = 1 y δ\delta(x) = 0 para todo número real x no nulo):
Del mismo modo, para n = 8, se obtiene:
Incluso sin saber qué es una transformada de Fourier, se puede formular una conjetura a partir de los dos resultados anteriores. En efecto, se obtiene:
\text{F}_x(2^{n-1}(\text{\cos}t)^n) = \pi\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\\ k\\\ \end{pmatrix} {\delta}(x+n-2k).
Comprobemos esta relación con ayuda de la calculadora (Expand es la función de la calculadora que permite desarrollar una expresión algebraica, utilizada aquí para distribuir π\pi):
La relación observada es, por tanto, un resultado matemático general, como confirma la calculadora formal fx-CP400+E.