I coefficienti binomiali, onnipresenti in matematica e in particolare in combinatoria e nel calcolo delle probabilità, sono definiti da
(n k )=n!k!(n−k)!,\begin{pmatrix}n\\\ k\\\ \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} ,
dove k e n sono due numeri interi tali che 0 ≤ k ≤ n.
La costruzione del triangolo di Pascal utilizza la seguente proprietà:
(n k)+(n k+1)=(n+1 k+1).\begin{pmatrix}n\\\ k\\\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}n\\\ k+1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1\\\ k+1\\\end{pmatrix}.
In altre parole, se righe e colonne sono numerate da 0 a n, il coefficiente della riga n + 1 e della colonna k + 1 è uguale alla somma del coefficiente della riga superiore (riga n, colonna k + 1) e del coefficiente precedente (riga n, colonna k). Questi coefficienti sono utilizzati in ambiti diversi. Per esempio, per sviluppare (x + y)*n usando la formula del binomio di Newton, per calcolare probabilità associate a una variabile aleatoria che segue una distribuzione binomiale, per determinare i polinomi di Bernstein, utili a costruire le curve di Bézier… Il triangolo di Pascal può perfino essere utilizzato nell’analisi quando si lavora con funzioni che coinvolgono una potenza, come per esempio t ?2n-*1 (cost)*n dove n* è un numero naturale. Tali funzioni, periodiche e integrabili, possono essere considerate segnali (suoni, video ecc.) e quindi manipolate come tali in vista di diverse applicazioni: compressione o trasmissione dell’informazione…
Un passaggio essenziale in queste applicazioni consiste allora nel calcolare la trasformata di Fourier del segnale. Se f è una funzione integrabile su R\mathbb{R}, si chiama trasformata di Fourier di f la funzione
Fx:x↦∫−∞+∞f(t)e−xtidt.\text{F}_x:x\mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-xti}dt.
Questa operazione consente di passare da una funzione integrabile considerata come un segnale a un’altra funzione che descrive caratteristiche fisiche di tale segnale (ampiezza, fase, frequenza del segnale).
I vantaggi del calcolo simbolico
Tutti i calcoli saranno eseguiti con la calcolatrice simbolica fx-CP400+E\. Quest’ultima è infatti dotata di un sistema di calcolo simbolico (Computer Algebra System, o CAS, in inglese) che le consente di eseguire calcoli simbolici, per esempio x + x = 2x, senza aver assegnato alcun valore a x*.
La calcolatrice simbolica fx-CP400+E ci semplificherà il lavoro, poiché potremo anzitutto eseguire un programma che dipende da n, poi calcolare la trasformata di Fourier delle funzioni t ?2*n-*1 (cost)*n, e infine valutare somme fino al numero intero n. E tutto questo per più valori di n, scrivendo in modo naturale, senza dover riscrivere i calcoli a ogni passaggio. L’elevamento alla potenza n nell’espressione della funzione permetterà, scrivendo cos t nella forma (ei t + e–i t*) / 2, di far comparire naturalmente i coefficienti binomiali.
Cominciamo costruendo un programma che generi le prime n righe del triangolo di Pascal. Accedete al menu **Programma
** .
Create il programma seguente selezionando Edit, quindi Nuovo file.
È possibile inserire il numero n direttamente nei parametri del programma (in alto a destra, cerchiato in rosso); ciò permette di usare questo programma nel menu Principale. Avremo così una panoramica di tutti i nostri calcoli: trasformate di Fourier e triangolo di Pascal.
Ecco alcuni commenti e spiegazioni:
• Ident(n) genera la matrice identità di dimensione n;
• A[l, k] corrisponde al coefficiente della lª riga e della kª colonna di A. Si sfrutta il fatto che A[l, k] è uguale alla somma del coefficiente della riga superiore, A[l – 1, k], e di quello precedente, A[l – 1, k – 1]. Si sarebbe anche potuto progettare un programma usando i coefficienti binomiali. Il tasto corrispondente,
, si trova nella tastiera Avanzata;
• Il triangolo di Pascal viene memorizzato nella matrice A; un messaggio indicherà questa informazione quando il programma verrà eseguito.
La calcolatrice simbolica fx-CP400+E propone cinque definizioni della trasformata di Fourier. Qui scegliamo il formato Matematica nelle impostazioni
del menu Principale ![](img/TG176_38_picto3.jpg).
Calcoliamo ora la trasformata di Fourier della funzione t ?2*n-*1 (cost)*n, per diversi valori di n*. La trasformata di Fourier si trova nella tastiera Avanzata.
Ogni volta si visualizzano le prime n + 1 righe del triangolo di Pascal; l’ultima riga fornisce i coefficienti binomiali (n k)\begin{pmatrix}n\\\ k\\\end{pmatrix}.
È più semplice scrivere tutti i calcoli in funzione di n, come qui sotto. Basta poi cambiare il valore di n all’inizio; la calcolatrice riesegue tutti i calcoli.
Per n = 5, si ottiene (la funzione δ\delta indica la delta di Dirac, definita da δ\delta(0) = 1 e δ\delta(x) = 0 per ogni numero reale x non nullo):
Analogamente, per n = 8, si ottiene:
Anche senza sapere che cosa sia una trasformata di Fourier, dai due risultati precedenti si può formulare una congettura. Si ottiene infatti:
\text{F}_x(2^{n-1}(\text{\cos}t)^n) = \pi\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\\ k\\\ \end{pmatrix} {\delta}(x+n-2k).
Verifichiamo questa relazione mediante la calcolatrice (Expand è la funzionalità della calcolatrice che permette di sviluppare un’espressione algebrica, qui usata per distribuire π\pi):
La relazione osservata è dunque effettivamente un risultato matematico generale, come conferma la calcolatrice simbolica fx-CP400+E.