Dossiers

Números cuadrados, cúbicos, piramidales, oblongos, pentagonales, hexagonales… Se pueden disponer multitud de enteros en forma de elegantes figuras geométricas regulares. Todo cambio de punto de vista que permite pasar de una representación aritmética a una geométrica (y viceversa) es fecundo y conduce a numerosos enigmas… no siempre fáciles. Seguramente piensa que ya se ha dicho y repetido todo (incluso en Tangente) sobre los números figurados. ¡Error! ¿Conoce los trabajos del matemático del Renacimiento Francesco Maurolico? Con este dossier, ¡va a redescubrir la aritmología!

En el universo despiadado de las funciones continuas, donde evolucionan objetos a veces tan anárquicos que no se pueden representar gráficamente con fidelidad, la familia de los polinomios es tranquilizadora. ¿Qué puede ser más simple, a priori, que estas combinaciones de monomios 1, X, X2, X3…? Además, desde Viète hasta las competiciones matemáticas de hoy en día, a menudo son solicitados en desafíos que los presentan. Los polinomios también permiten aproximar, tan cerca como se quiera, la mayoría de las funciones que encontramos en el día a día. ¡Pero esta eficaz aproximación a veces se hace a expensas de la intuición, y por lo tanto de las necesidades!

Georg Cantor y su teoría de conjuntos sacudieron los fundamentos de las matemáticas al poner de manifiesto los razonamientos circulares, es decir, aquellos que hacen referencia a sí mismos. A principios del siglo XX, sus paradojas surgen bajo la pluma de Burali-Forti, de Russell y de Richard, sumiendo a Frege en la consternación. Kurt Gödel demuestra que ciertas afirmaciones no pueden ser demostradas ni refutadas en un marco axiomático dado, poniendo término negativo a un famoso problema planteado por Hilbert. La autorreferencia se encuentra también en la literatura, en la pintura, la escultura y… en la prensa donde, voluntaria o no, hace sonreír.

Las tabletas votivas japonesas que se encuentran en la entrada de ciertos templos interesan desde hace mucho tiempo a los matemáticos porque a veces se encuentran en ellas elegantes acertijos geométricos, donde los círculos juegan un papel importante. Su resolución es fácil cuando no requiere ningún resultado particular. Más a menudo, hay que recurrir a teoremas clásicos, como el de Pitágoras. Finalmente, en algunos casos raros, el problema propuesto ha resistido durante siglos… ¡No se imagina: el último acertijo no se resolvió hasta 2020! Bienvenido al mundo de los sangaku.

Las civilizaciones han redoblado de ingenio para permitir estimar cantidades. Han creado sistemas basados en alfabetos o símbolos nuevos. La reacción natural fue utilizar el sistema decimal, pero se inventaron otras bases, como la base 60, todavía viva hoy en día para definir la hora. Procedente de l'Inde, la numeración de posición permitió utilizar algoritmos para realizar operaciones. Más recientemente, el sistema binario resultó esencial en la explosión de la informática y de la ciencia de datos.

Los teselados regulares y las cenefas hoy están catalogados de manera rigurosa, pero su diversidad sobrepasa con creces la primera intuición. En el siglo XX, la teoría de grupos ha vencido efectivamente su aparente variedad, gracias a la introducción de notaciones tan ingeniosas como poderosas. El tema parecía apenas cerrado cuando se descubrieron teselados no regulares. El matemático Roger Penrose y el grabador Maurits Cornelis Escher han sido los precursores de estos nuevos mosaicos asombrosos y hermosos… de los cuales los artistasالمسلمين habían ya vislumbrado las riquezas.

China representa el centro de las matemáticas extremo-orientales porque su continuidad geopolítica y su escritura utilizada por otras civilizaciones permitieron que todo el corpus matemático escrito en chino fuera leído, adaptado y profundizado a lo largo de los siglos. Los textos que han llegado hasta nosotros no son muy numerosos y son consecuencia de las elecciones de las dinastías sucesivas. Si el tratado más famoso – y más antiguo – es Los nueve capítulos, muchas otras obras han desarrollado investigaciones muy avanzadas, originales y a veces por delante de lo que se hacía en Europa en el mismo momento. Sin embargo, las matemáticas llamadas chinas no se presentan como una unidad: ¡ahí es donde las cosas se ponen interesantes!

Leer mientras se cultiva el interés, o incluso la pasión por las matemáticas, es posible gracias a Tangente. Para la duodécima edición del Prix Tangente del libro, nuestra revista les propone votar por uno de los diez libros recientes seleccionados por su capacidad de transmitir el gusto por las matemáticas. Leer, sí, pero ¿por qué no escribir? Si tiene la pluma ágil y el espíritu inventivo, participe en el Prix du meilleur article. Un sueño… ¡ver pronto su texto en Tangente! Los Trofeos Tangente también están dirigidos a estudiantes. Descubran el palmarés del Prix Tangente de los lycée o animen a un joven a participar en el Prix Bernard-Novelli, un concurso de creación de un software de juego matemático.

Exactamente quinientos años después de su muerte, Léonard de Vinci sigue fascinando. Para los franceses, es a través de la Mona Lisa en el Louvre, y los inventos espectaculares presentados en el castillo del Clos Lucé en Amboise. Artista, ingeniero, científico, este genial sabio italiano atravesó los Alpes para terminar sus días en el Valle del Loira. Su estrecho vínculo con Luca Pacioli, matemático fundador de la contabilidad, orientó a Léonard hacia un enfoque matemático. Sus dibujos de poliedros transforman figuras geométricas en otras tantas obras de arte. En un mundo saliendo de la Edad Media, mucho antes de René Descartes, su dominio tanto teórico como práctico de la perspectiva le hizo comprender, a través del estrecho vínculo que existe entre la pintura y las matemáticas, la importancia del enfoque científico.

Conocida por el público en general por haber sido la primera mujer órgan recipient de la medalla Fields, Maryam Mirzakhani es frecuentemente descrita por quienes cruzaron su camino como pertinaz, tímida y excepcional en más de un aspecto. De sus brillantes estudios en Teherán a su carrera destacada en Stanford, pasando por sus diversos éxitos en las Olimpiadas Internacionales de Matemáticas, su trayectoria fulgurante es narrada por el cineasta George Cziczeri en su documental Los secretos de la superficie. Hemos intentado, en este dossier, dar un aperçu de sus trabajos en geometría de las superficies y de la importancia de sus resultados.