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Los números enteros positivos son los más simples de concebir, de ahí que se les califique de « naturales ». Sin embargo, encierran propiedades ricas y asombrosas. Algunos de ellos llevan el nombre de quien los estudió, o incluso, podría decirse, descubiertos. Ya sea que sean la respuesta a una cuestión de conteo, que posean propiedades aritméticas notables o que designen órdenes de magnitud difíciles de concebir, el encuentro con algunos de estos « números de… » es la ocasión de explorar la historia de las matemáticas.

En las ciencias pero también en la vida cotidiana, nos vemos obligados a encontrarnos con grandes números. La manera de nombrarlos depende entonces, según los países, de la elección de la escala utilizada, larga o corta. La imaginación de los científicos, en particular de los matemáticos, siendo sin límites, se han desarrollado técnicas para designar números aún más grandes. Este es el caso, desde la Antigüedad, con el Arenario de Arquímedes. Más recientemente, en el siglo xx, John Conway y Donald Knuth han desarrollado nuevas notaciones para números inmensamente más grandes que el número de partículas elementales en el universo. ¡Y lo que es todavía más asombroso, es que nos los encontramos en ciertas teorías!

La capacidad de realizar mentalmente, en un instante, un cálculo complejo a menudo se asocia con la idea de «don para los números». Es cierto que algunos calculadores prodigio parecen dotados de esta cualidad sin haber recibido formación particular. Sin embargo, no hay que engañarse: salvo algunos casos tan raros como fascinantes, la aptitud para el cálculo mental se desarrolla sobre todo con la práctica. Esta produce resultados tanto mejores cuando se basa en un buen conocimiento de las propiedades subyacentes de los números, en general fundadas en una combinación de álgebra y aritmética.

El bachillerato, creado en 1808, es « una institución social y política », como ya escribía el sociólogo Émile Boutmy en… 1899. Si ha sido un punto de referencia, tanto universitario como social, hasta mediados del siglo XX, ya no cumple este papel, devaluado por su nivel, en descenso constante, y por su tasa de éxito creciente pero cada vez más artificial. Sin embargo, tiene sus defensores, en un mundo donde las reformas profundas no están de moda, y donde se prefiere, como explica Jean Dhombres a propósito de los programas de matemáticas, modificar lo existente con pequeñas pinceladas que se yuxtaponen hasta que ya no haya líneas directrizes verdaderas. ¡Esto es para alimentar un dossier sensible!

La estadística pública está en el centro de lo cotidiano con su inmensa producción de cifras. Sin embargo, a menudo se confunde con la estadística que emana de la esfera privada, al igual que las encuestas sobre las intenciones de voto o sobre las prioridades de los franceses. De hecho, la estadística pública tiene una historia, que se remonta a la práctica antigua del recuento de las fuerzas vivas de las ciudades y de los Estados que necesitan información para conocerse mejor y gobernarse. Con el establecimiento de recolecciones de gran escala y de bases de datos coherentes, los métodos se han refinado: desarrollo de las técnicas de muestreo, nacimiento de la econometría, giro del big data…

Omnipresentes en los ámbitos más variados de nuestra vida cotidiana, las mediciones nos parecen naturales. Patrones, balanzas, galgas… son las herramientas que vienen a la mente para establecerlas. Situadas a medio camino entre la teoría y la experiencia, se basan a menudo en modelos físicos que resultan indispensables, especialmente cuando las magnitudes, como el radio de la Tierra, son inaccesibles a la medición directa. Inversamente, las mediciones pueden respaldar o invalidar un modelo teórico, como la existencia del éter. Finalmente, ¿cómo atribuir un valor a nociones cualitativas como la inteligencia, la felicidad o incluso la virtud?

Matemático, político comprometido y miembro influyente de la intelectualidad francesa, Émile Borel encarna por sí solo el ideal de la «República de los profesores». Desde el dreyfusismo hasta la Resistencia, pasando por el Frente Popular y las primeras horas de la construcción europea, simultaneó investigación científica y combate cívico, convencido de que una misma rigurosidad racional gobierna la ciencia y la política. Sus trabajos sobre la medida y el azar —nociones cuya profundidad matemática supera ampliamente la intuición— sentaron fundamentos duraderos, desde la teoría de Lebesgue hasta los números normales. Estos últimos, cuyo escritor Jorge Luis Borges parecía haber presentido la extrañeza en sus ficciones, abren aún hoy horizontes inesperados, desde la teoría ergódica hasta la informática.

Demasiado poco conocida por los científicos, reducida a una simple traductora de Newton o a una vulgarizadora de la filosofía de las ciencias alemanas, a menudo incluso caracterizada únicamente como la amante de Voltaire, Émilie du Châtelet es en realidad una gran sabia, a la vez matemática, física y filósofa. Su vida de mujer sabia en un siglo misógino hace que no siempre se haya beneficiado de un gran reconocimiento a pesar de sus trabajos de envergadura. Fue no obstante elegida en la Academia de Bolonia y sus Instituciones de Física fueron una lectura obligatoria para numerosos científicos, hasta el punto de ser regularmente citadas en la Enciclopedia. Espacio para una mujer que fue a la vez una gran científica pero también una mujer libre y feminista !

La noción de óptimo evoca a menudo la de máximo o mínimo de una función que, como un fluido, evolucionaría de manera continua, e incluso derivable. El arsenal del análisis y del cálculo diferencial se impone entonces al espíritu. Pero la optimización concierne también, a menudo, a cantidades que no pueden tomar más que un número finito o contable de valores. Si el repertorio de técnicas derivadas del análisis ya no es entonces de ninguna utilidad, las matemáticas discretas y la teoría de grafos toman el relevo. Es el ordenador, máquina secuencial mejor adaptada a los entornos combinatorios, el que será entonces, la mayoría de las veces, puesto a contribución para resolver los problemas de óptimo.