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Aunque convencido del funcionamiento determinista del Universo, Laplace contribuyó notablemente al desarrollo del cálculo de probabilidades, introduciéndolo en el campo de las matemáticas. Se estaría tentado de ver allí una paradoja. El sabio se interesa en realidad por problemas prácticos. Típicamente, ¿cómo elegir el valor « más pertinente » entre varias mediciones? A partir de sus investigaciones, elabora una teoría que conduce a la ley normal.

Cuadrilátero olvidado, paralelogramo mal conocido, el rombo es una figura casi ignorada de la geometría: sus propiedades matemáticas parecen bastante escasas. Sin embargo, conserva parte de misterio, y este dossier le ayudará a desentrañar. Ya, el origen de la palabra «rombo» sigue siendo enigmático. Luego, se puede preguntar si todo rombo posee un círculo inscrito, o se inscribe en un círculo (piénselo un instante, ¡no son preguntas tan obvias!). O si se pueden construir poliedros cuyas caras sean rombos. Por último, al igual que existen «cuadrados mágicos», ¡existe desde hace poco un «rombo mágico»!

El mundo de la economía es fluctuante, movedizo, a veces imprevisible. Debe adaptarse permanentemente a la evolución de nuestras sociedades y al comportamiento de los ciudadanos. Por lo tanto, no hay nada sorprendente en que los métodos estadísticos, los modelos probabilistas y las herramientas del análisis estocástico estén cada vez más presentes. Los datos se confrontan con la realidad, con la materialidad de los hechos, medidos mediante sondeos, experimentaciones sobre el terreno, tests… Así, en los planes de producción y gestión de las empresas, el estudio estructurado de los resultados pasados conduce a la construcción elaborada de modelos de previsión que minimizan los riesgos y optimizan la pervivencia de las actividades.

Es difícil imaginar el álgebra sin la teoría de grupos. Sin embargo, no es sino hasta principios del siglo XIX que el concepto se desarrolla, presente implícitamente en los trabajos de Lagrange, y luego introducido por Galois. Primero limitada a los únicos grupos de permutaciones de un conjunto, la noción se impuso gradualmente en todos los campos de las matemáticas para estudiar no solo los objetos, sino también las relaciones entre ellos. La definición formal de un grupo no aparece sino hasta finales del siglo XIX. Se desarrollan entonces gran cantidad de herramientas para utilizar, catalogar, construir los numerosos ejemplos de esta estructura unificadora que invade las matemáticas… y todas las ciencias. Santo grial definitivo, el teorema de clasificación de los grupos simples finitos todavía tiene repercusiones hoy en día.

Si resumir la obra multiforme de Cauchy es difícil, detallar las prolongaciones a las que han dado lugar sus trabajos es imposible, dada la profundidad de su influencia. El nombre de Cauchy está absolutamente en todas partes en las matemáticas superiores: criterio de Cauchy, distribución de Cauchy, problema de Cauchy, desigualdad de Cauchy-Schwarz, sin olvidar por supuesto los diversos teoremas de Cauchy. Todas estas denominaciones dan testimonio de una herencia que ha irrigado el conjunto de las matemáticas. E incluso si ocurre que, pensando en uno u otro de los grandes personajes de su época, los nombres de Galois o de Gauss vengan primero a la mente, el barón Cauchy no deja de ser uno de esos raros matemáticos de quienes se puede decir que, en todos los ámbitos, hay un antes y un después de él.

Si el grupo está omnipresente en las matemáticas « puras y duras », otros dominios se han apropiado de él, conscientes de las ventajas que su presencia aportaba: comprensión de fenómenos complejos, técnicas nuevas, unificación de las ideas… sin contar con el atractivo que una estructura abstracta ejerce sobre nuestro pensamiento. En etnología, Claude Lévi-Strauss ha utilizado los grupos para modelizar relaciones de parentesco en ciertas poblaciones. En criptología, la « aritmética del reloj » está presente en toda operación de cifrado o descifrado. El arte no se queda atrás, ya sea en música, literatura o pintura. Las Barras de madera redonda de André Cadere siguen siendo emblemáticas de la representación artística de los grupos de permutaciones.

De sus propiedades, la tangente puede ser interpretada de diferentes maneras: recta que aproxima una curva, trayectoria de un rayo luminoso, geodésica de un espacio particular… Según el punto de vista adoptado, la tangente considerada transporta entonces una característica particular del problema estudiado. En física, por ejemplo, se utilizarán las propiedades focales de las cónicas para explicar un fenómeno. En economía, las rectas de presupuesto ayudarán a identificar las políticas de inversión realizables de una empresa. A cada problema, su recta, que muy frecuentemente resulta ser una tangente.

En numerosos campos matemáticos, las desigualdades desempeñan un papel importante. Este es el caso, por ejemplo, en probabilidades, con la desigualdad de Bienaymé‒Tchebychev, o en todo lo relacionado con la optimización. Muchos fenómenos físicos también se modelizan mediante desigualdades; la termodinámica nos ofrece un ejemplo impresionante. En ciencias económicas y sociales, el estudio de las desigualdades es un tema central, ya sea que se trate de riqueza, trabajo, vivienda, educación…

Paul Erdős ha resuelto numerosos problemas en todos los campos, pero su pasión primera es, sin duda alguna, la teoría de números. Dedica así numerosos trabajos a los números primos. Si la mayoría de sus resultados, bastante técnicos, son difíciles de vulgarizar, algunos siguen siendo accesibles, al menos en su formulación. Este es el caso, por ejemplo, en geometría, de problemas de distancias definidas por un conjunto de puntos, de la partición del cuadrado en cuadrados de tamaños diferentes o del número de rectas que pasan por puntos dados.

Matemático sin duda excepcional, Erdős tuvo una vida que podemos calificar de «original», enteramente dedicada a los problemas matemáticos. En desplazamiento permanente, de ciudad en ciudad, de congreso en seminario, una maleta en la mano y un teorema en cada casa, estableció así muchas colaboraciones. Su comportamiento atípico dio lugar a muchas anécdotas, no siempre auténticas. Gérald Tenenbaum, que fue uno de sus coautores, da testimonio de una experiencia a veces desconcertante pero siempre agradable y enriquecedora.