El método de los trapecios -----------------------
Sea f una función continua positiva, definida en un intervalo \[a, b\]. Podemos interpretar la integral como el área comprendida entre la gráfica de f y el eje de abscisas (entre a y b). Tracemos entonces el trapecio delimitado por la curva, el eje de abscisas y el segmento \[AB\].
Si la función f es creciente (o decreciente) de manera «bastante regular», es decir, si su segunda derivada varía «poco», vemos que el área del trapecio es «próxima» a la integral considerada. Podemos aproximar la segunda por la primera, es decir, por (b – a)(f(a) + f (b)) / 2. Así, si a = 1, b = 2 y f (x) = 1 / x, obtenemos
∫abf(x)dx=ln(2)=0,6931…,\int_{a}^{b}f(x)dx=ln(2)=0,6931…,
que aproximamos mediante (1 + 1 / 2) /2 = 0,75.
El error es tanto mayor cuanto mayor es el intervalo y mayores son las variaciones que presenta en él la función. De ahí la idea de dividir el intervalo inicial en n partes iguales, aplicar el método anterior a cada uno de esos n intervalos y sumar los resultados. Obtenemos así una aproximación de
∫abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx
donde h = (b – a) / n, por:
In=h (f(a)/2+f(a+h)+2f(a+2h)+…+f (a+(n–1)h)+f (b)/2).I_{n}=h\,(f(a)/2+f(a+h)+2f(a+2h)+…+f\,(a+(n–1)h)+f\,(b)/2).
Retomando nuestro ejemplo con n = 4, obtenemos I4 = 0,6845, es decir, ¡un error inferior a una centésima!
El rigor exige, por supuesto, acotar teóricamente el error. Si la función f es dos veces derivable y su segunda derivada está acotada, con valor absoluto menor o igual que un número M, entonces el propio error está acotado superiormente por M (b – a)3 / 8n2. En particular, si n tiende a infinito, el error tiende a 0, lo que permite obtener el resultado con un error tan pequeño como se quiera.
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La integral doble ------------------
Si g es una función real definida en un subconjunto D del plano, podemos visualizarla como una superficie formada por los puntos de coordenadas (x, y, z), donde z = g (x, y) y (x, y) pertenece al dominio de definición D. Por analogía con la integral sobre un segmento, esperamos que, si la función es positiva, la integral sobre D corresponda al volumen comprendido entre el plano {z = 0} y la superficie, dentro del dominio D. La construcción rigurosa de tal integral es posible, con algunas restricciones, pero… larga y delicada (véase le Calcul intégral, Bibliothèque Tangente 50, 2014).
Tomemos primero el caso en que g es continua y D = \[a, b\] × \[c, d\] es un rectángulo. Como la función tiene dos variables (x e y), podemos integrar primero con respecto a x entre a y b, y después con respecto a y entre c y d, o a la inversa. ¡Milagro! El teorema de Fubini nos asegura que los dos resultados coinciden y que, en efecto, podemos intercambiar los dos órdenes de integración.