Il metodo dei trapezi -----------------------
Sia f una funzione continua positiva, definita su un intervallo \[a, b\]. L’integrale può essere interpretato come l’area compresa tra il grafico di f e l’asse delle ascisse (tra a e b). Tracciamo dunque il trapezio delimitato dalla curva, dall’asse delle ascisse e dal segmento \[AB\].
Se la funzione f presenta un andamento crescente (o decrescente) «abbastanza regolare», ossia se la sua derivata seconda varia «abbastanza poco», l’area del trapezio risulta «vicina» all’integrale considerato. Possiamo approssimare la seconda con la prima, ossia con (b – a)(f(a) + f (b)) / 2. Così, se a = 1, b = 2 e f (x) = 1 / x, otteniamo
∫abf(x)dx=ln(2)=0,6931…,\int_{a}^{b}f(x)dx=ln(2)=0,6931…,
che approssimiamo con (1 + 1 / 2) /2 = 0,75.
L’errore è tanto più grande quanto più ampio è l’intervallo e quanto maggiori sono le variazioni che la funzione vi presenta. Si divide quindi l’intervallo iniziale in n parti uguali, si applica il metodo precedente a ciascuno di questi n intervalli e si sommano i risultati. Si ottiene così un’approssimazione di
∫abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx
ponendo h = (b – a) / n, si ha:
In=h (f(a)/2+f(a+h)+2f(a+2h)+…+f (a+(n–1)h)+f (b)/2).I_{n}=h\,(f(a)/2+f(a+h)+2f(a+2h)+…+f\,(a+(n–1)h)+f\,(b)/2).
Riprendendo il nostro esempio con n = 4, otteniamo I4 = 0,6845, ossia un errore inferiore a un centesimo!
Il rigore esige naturalmente di maggiorare teoricamente l’errore. Se la funzione f è derivabile due volte e la sua derivata seconda è limitata, maggiorata in valore assoluto da un numero M, allora anche l’errore è maggiorato da M (b – a)3 / 8n2. In particolare, se n tende all’infinito, l’errore tende a 0, il che permette di ottenere il risultato con un errore piccolo quanto si vuole.
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L’integrale doppio ------------------
Se g è una funzione a valori reali, definita su un sottoinsieme D del piano, possiamo rappresentarla come una superficie formata dai punti di coordinate (x, y, z) per i quali z = g (x, y) e (x, y) appartiene al dominio di definizione D. Per analogia con l’integrale su un segmento, se la funzione è positiva, vorremmo che l’integrale su D corrispondesse al volume compreso tra il piano {z = 0} e la superficie sopra il dominio D. La costruzione rigorosa di un tale integrale è possibile, con alcune restrizioni, ma… lunga e delicata (vedi le Calcul intégral, Bibliothèque Tangente 50, 2014).
Consideriamo dapprima il caso in cui g sia continua e D = \[a, b\] × \[c, d\] sia un rettangolo. Poiché la funzione ha due variabili (x e y), possiamo integrare prima rispetto a x tra a e b, poi rispetto a y tra c e d, oppure nell’ordine inverso. Miracolo: il teorema di Fubini ci assicura che i due risultati coincidono e che possiamo effettivamente scambiare i due ordini di integrazione!