Finché ci si limita a rettangoli e triangoli, la nozione di area è elementare. Scomponendoli in triangoli, si può inoltre definire facilmente l’area dei poligoni, il che permette a priori di approssimare quella di tutti i domini del piano. In realtà, no! La questione è più complicata: occorre distinguere tra i domini, detti quadrabili, che possiedono un’area, e gli altri (vedi le Calcul intégral, Bibliothèque Tangente 50). Qui, però, ci limiteremo ai domini quadrabili. La proprietà essenziale è allora la seguente: l’area è additiva. Più precisamente, se si considerano due domini la cui intersezione ha area nulla — come avviene per le linee — l’area della loro unione è uguale alla somma delle aree.
Sotto la curva, l’area
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Supponiamo che, se f è continua (e positiva) su un intervallo I, il dominio compreso sotto la curva di equazione y = f(x) tra le ascisse a e x abbia area, che indichiamo con F(x). La proprietà additiva consente allora di affermare che l’area sotto la curva tra le ascisse x e x + h vale F(x + h) – F(x). Se h è piccolo, la si può approssimare con un rettangolo di larghezza h e altezza f(x), ossia
F(x + h) – F(x) ≈ h f (x).
