Mientras nos limitemos a rectángulos y triángulos, la noción de área es elemental. Al descomponerlos en triángulos, también podemos definir fácilmente el área de los polígonos, lo que permite a priori aproximar la de todos los dominios del plano. ¡Pues no! Es más complicado: hay que distinguir entre los dominios, llamados cuadrables, que poseen un área, y los demás (véase le Calcul intégral, Bibliothèque Tangente 50). Pero aquí nos limitaremos a los dominios cuadrables. La propiedad esencial es entonces la siguiente: el área es aditiva. Más precisamente, si consideramos dos dominios cuya intersección tiene área nula —como ocurre con las líneas—, el área de su unión es igual a la suma de sus áreas.
Bajo la curva, el área
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Supongamos que, si f es continua (y positiva) en un intervalo I, el dominio situado bajo la curva de ecuación y = f(x) entre las abscisas a y x tiene un área, que denotamos F(x). La propiedad de aditividad permite afirmar entonces que el área bajo la curva entre las abscisas x y x + h vale F(x + h) – F(x). Si h es pequeño, podemos aproximarla mediante un rectángulo de anchura h y altura f(x), es decir,
F(x + h) – F(x) ≈ h f (x).
