El empleo del cálculo integral para calcular áreas es todo un clásico, como ilustra el artículo anterior. El teorema fundamental del cálculo, que vincula la búsqueda de primitivas con el cálculo de integrales definidas, permite muy a menudo resolver con elegancia problemas de este tipo. ¡Pero no siempre es así! El cálculo del área del círculo, por ejemplo, resulta especialmente laborioso en coordenadas cartesianas; el paso a las coordenadas polares aporta entonces una considerable ventaja estética y práctica. Pero eso no es todo. Esta transformación también permite resolver problemas de cálculo de integrales de funciones consideradas no integrables en coordenadas cartesianas…
¡Viva la trigonometría!
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En un sistema de coordenadas polares, un punto del plano, de coordenadas cartesianas (x, y), queda determinado trazando el segmento que lo une con el origen, midiendo el ángulo θ (en \0, 2XXLATEXPROTECTEDXX0XX\[) entre este segmento y la horizontal, así como la distancia r > 0 entre el punto y el origen. Las relaciones que expresan el paso de un sistema de coordenadas al otro son x = r cosθ e y = r sinθ.
¿Cómo calcular el área S de un círculo C de radio R? En coordenadas cartesianas, se integra la función constante igual a 1 sobre un dominio que representa un círculo (o un cuarto de círculo):
