Aproximadamente π

El área S de un disco de radio r viene dada por la famosa fórmula $S=\pi r^2$. Calcular el área del disco unidad (r = 1) equivale, por tanto, a determinar el valor de $\pi$. Así, toda aproximación del disco unidad mediante una figura geométrica cuya área se pueda calcular explícitamente proporciona una estimación de $\pi$, tanto más precisa cuanto más «próxima» esté al disco la figura en cuestión. Con cuadrados, por ejemplo, podemos hacerlo como se muestra a continuación.

El área de ABCD es, por tanto, menor que $\pi$, mientras que la de A'B'C'D' es mayor que $\pi$. Puesto que A'B' es igual a 2 (es el diámetro de la circunferencia), el área de A'B'C'D' es igual a 4 y, por tanto, $\pi$< 4. Por otra parte, la diagonal [AC] del cuadrado ABCD es un diámetro de la circunferencia, así que AC = 2. En un cuadrado, la razón entre la diagonal y el lado es $\sqrt{2}$, por lo que el lado de ABCD mide $2\mathrm{/}\sqrt{2}$, es decir, $\sqrt{2}$. De ello se deduce que el área de ABCD vale $(\sqrt{2}{)}^2=2$. En definitiva, obtenemos las desigualdades $2<\pi <4$.

Se han visto aproximaciones más precisas... Pero, a juzgar por el aspecto de los cuadrados que rodean la circunferencia, ¡no cabía esperar mucho más! Otra idea consiste en fijarse en los perímetros. Después de todo, no solo el área de un disco hace aparecer $\pi$: también la longitud de la circunferencia, mediante la fórmula $2\pi r$. Por tanto, la circunferencia unidad tiene longitud $2\pi$. Si admitimos —lo cual es un poquito menos evidente que en el caso de las áreas— que los perímetros de los cuadrados también proporcionan una acotación de la longitud de la circunferencia, un pequeño cálculo permite deducir que $4\sqrt{2}<2\pi <8$ y, por tanto, que $2,8<2\sqrt{2}<\pi <4$. Es algo mejor que con las áreas, pero todavía no es gran cosa...

Para unas cuantas cifras decimales más... -------------------------------------