L'aire S d'un disque de rayon r est donnée par la fameuse formule S=πr2S=\pi r^2. Calculer l'aire du disque unité (r = 1), c'est donc déterminer la valeur de π\pi. C'est ainsi que toute approximation du disque unité par une forme géométrique dont on sait calculer explicitement l'aire fournit une évaluation de π\pi, d'autant plus précise que la forme en question est « proche » du disque. Avec des carrés, par exemple, on peut faire comme ci-dessous.
L'aire de ABCD est donc plus petite que π\pi, tandis que celle de A'B'C'D' est plus grande que π\pi. Puisque A'B' est égal à 2 (c'est le diamètre du cercle), l'aire de A'B'C'D' est égale à 4, et donc π\pi< 4. D'autre part, la diagonale [AC] du carré ABCD est un diamètre du cercle, donc AC = 2. Dans un carré, le rapport diagonale/côté vaut 2\sqrt{2} , le côté de ABCD est donc de 2/22 / \sqrt{2} , c'est-à-dire 2\sqrt{2}. On en déduit que l'aire de ABCD vaut (2)2=2(\sqrt{2})^2=2. Finalement donc, on a les inégalités 2<π<42< \pi <4.
On a vu plus précis… Mais vu l'allure des carrés bordant le cercle, il ne fallait pas s'attendre à beaucoup mieux ! Une autre idée consiste à regarder les périmètres. Après tout, il n'y a pas que l'aire d'un disque qui fait apparaître π\pi : la circonférence le fait aussi, avec la formule 2πr2 \pi r. Le cercle unité est donc de circonférence 2π2 \pi. Si l'on admet (ce qui est un tout petit peu moins évident que pour les aires) que les périmètres des carrés donnent aussi un encadrement de la circonférence du cercle, alors un petit calcul permet d'en déduire que 42<2π<84\sqrt{2}<2 \pi <8, donc que 2,8<22<π<42,8 < 2\sqrt{2} <\pi < 4. C'est un peu mieux qu'avec les aires, mais ce n'est pas encore ça…
Pour quelques décimales de plus… -------------------------------------