Più o meno π

L’area S di un disco di raggio r è data dalla celebre formula $S=\pi r^{2}S=\backslash pi\; r^2$. Calcolare l’area del disco unitario (r = 1) significa dunque determinare il valore di $\pi \backslash pi$. Ogni approssimazione del disco unitario mediante una figura geometrica di cui si sa calcolare esplicitamente l’area fornisce quindi una stima di $\pi \backslash pi$, tanto più precisa quanto più la figura in questione è «vicina» al disco. Con i quadrati, per esempio, si può procedere come qui sotto.

L’area di ABCD è dunque minore di $\pi \backslash pi$, mentre quella di A'B'C'D' è maggiore di $\pi \backslash pi$. Poiché A'B' è uguale a 2 (è il diametro del cerchio), l’area di A'B'C'D' è uguale a 4 e quindi $\pi \backslash pi$< 4. D’altra parte, la diagonale [AC] del quadrato ABCD è un diametro del cerchio, dunque AC = 2. In un quadrato, il rapporto tra diagonale e lato vale $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$, quindi il lato di ABCD misura $2\mathrm{/}\sqrt{2}2\; /\; \backslash sqrt\{2\}$, cioè $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$. Ne deduciamo che l’area di ABCD vale $(\sqrt{2}{)}^2=2(\backslash sqrt\{2\})^2=2$. Otteniamo infine le disuguaglianze .

Abbiamo visto di meglio... Ma, vista la forma dei quadrati che delimitano il cerchio, non c’era da aspettarsi molto di meglio! Un’altra idea consiste nel considerare i perimetri. Dopotutto, non è solo l’area di un disco a far comparire $\pi \backslash pi$: anche la circonferenza lo fa, con la formula $2\pi r2\; \backslash pi\; r$. Il cerchio unitario ha dunque circonferenza $2\pi 2\; \backslash pi$. Se ammettiamo — cosa un pochino meno evidente che per le aree — che i perimetri dei quadrati forniscano anch’essi un inquadramento della circonferenza del cerchio, un piccolo calcolo permette di dedurre che , dunque che . È un po’ meglio che con le aree, ma non ci siamo ancora...

Per qualche decimale in più… -------------------------------------