Il ricorso al calcolo integrale per il calcolo delle aree è un grande classico, come illustra l’articolo precedente. Il risultato fondamentale del calculus, che unisce la ricerca delle primitive al calcolo degli integrali definiti, consente molto spesso di risolvere elegantemente problemi di questo tipo. Ma non è sempre così! Il calcolo dell’area del cerchio, per esempio, risulta particolarmente gravoso nelle coordinate cartesiane; il passaggio alle coordinate polari offre allora notevoli vantaggi estetici e pratici. Ma non è tutto. Questa trasformazione permette anche di risolvere problemi di calcolo di integrali di funzioni considerate non integrabili nelle coordinate cartesiane…
Viva la trigonometria!
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In un sistema di coordinate polari, un punto del piano di coordinate cartesiane (x, y) si individua congiungendolo con l’origine, misurando l’angolo θ (in \0, 2XXLATEXPROTECTEDXX0XX\[) fra questo segmento e l’orizzontale, nonché la distanza r > 0 fra il punto e l’origine. Le relazioni che esprimono il passaggio da un sistema di coordinate all’altro sono allora x = r cosθ e y = r sinθ.
Come calcolare l’area S di un cerchio C di raggio R? Nelle coordinate cartesiane, si integra la funzione costante unitaria su un dominio che rappresenta un cerchio (o un quarto di cerchio):
