Molti problemi di ottimizzazione nascono da situazioni geometriche: minimi o massimi di lunghezze, aree, angoli. La maggior parte ha naturalmente una soluzione algebrica, ma con un po’ d’astuzia se ne può trovare una esclusivamente geometrica: la prova che si può ottimizzare senza derivare!
Esempi illustri --------------------
Elissa, principessa di Tiro, che, secondo la leggenda, fuggì dal fratello Pigmalione dopo che questi ebbe assassinato suo marito, nel IXº secolo prima della nostra era, trovò rifugio nell’attuale Tunisia, dove gli autoctoni le concessero soltanto quanto avrebbe potuto coprire… una pelle di bue. Poco male: tagliò quella pelle in sottili strisce per ricavarne una corda lunga quattro chilometri, che avrebbe sfruttato al meglio per circondare il proprio territorio e fondarvi la città di Cartagine, di cui sarebbe diventata la prima regina con il nome di Didone. Il problema di Didone è uno dei più antichi problemi di ottimizzazione, detto isoperimetrico: massimizzare un’area a parità di perimetro. Il territorio immaginato da Didone avrebbe avuto la forma di un semicerchio con il litorale del golfo di Tunisi come diametro.
Più vicino a noi, quest’altro splendido problema di ottimizzazione fu posto per la prima volta nel 1636 da Pierre de Fermat, magistrato appassionato di matematica, nel suo Metodo dei massimi e dei minimi: «Dati tre punti, trovarne un quarto tale che la somma delle sue distanze dai tre punti dati sia minima.» Quattro anni più tardi Evangelista Torricelli ne propose una soluzione geometrica, che altri matematici avrebbero poi perfezionato, restando spesso nell’ambito della geometria: Bonaventura Cavalieri nel 1647, Vincenzo Viviani nel 1659, Thomas Simpson nel 1750, Franz Heinen nel 1834… Sappiamo dunque che la soluzione, se nessuno degli angoli del triangolo supera i 120°, è un unico punto interno al triangolo — detto punto di Fermat, o anche punto di Torricelli — dal quale i tre lati del triangolo si vedono sotto un angolo di 120°.