Il quadrato di un numero reale è sempre positivo ed è nullo solo se il numero stesso è nullo. Cosa c’è di più banale? Se a questo risultato banale aggiungiamo l’identità notevole che fornisce il quadrato di una somma, cioè (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2, possiamo già affrontare un buon numero di problemi di ottimizzazione. Illustriamo l’idea di base con l’esempio della massimizzazione del prodotto di due numeri quando la loro somma è data. Indichiamo con 2a la somma assegnata e con x e y i due numeri. Essi soddisfano x + y = 2a, il che permette di esprimere y in funzione di x, e quindi il prodotto xy nella forma 2ax – x2. L’identità notevole richiamata sopra suggerisce di introdurre il quadrato (x – a)2. Si ottiene xy = a2 – (x – a)2. Poiché il quadrato (x – a)2 è sempre positivo ed è nullo solo se x = a, ne segue che il massimo di xy è uguale a a2 e viene raggiunto solo se x e y sono uguali.
La stessa idea permette di trovare il minimo della somma di due numeri positivi quando il loro prodotto è dato. A questo scopo basta scrivere il prodotto e i due numeri come quadrati di numeri positivi: a2, x2 e y2. L’uguaglianza x2y2 = a2 implica xy = a. Usando l’identità notevole, la somma dei due numeri si scrive x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy, ossia x2 + y2 = (x – y)2 + 2a. Il minimo della somma è dunque 2a e viene raggiunto solo se x e y sono uguali.
Questo risultato permette di trovare il minimo sull’intervallo ]0, +∞[ della funzione f definita da:
