El cuadrado de un número real siempre es positivo y solo es nulo si el propio número es nulo. ¿Qué puede haber más inocente? Si a este resultado trivial añadimos la identidad notable que da el cuadrado de una suma, es decir, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2, ya podemos abordar un buen número de problemas de optimización. Veamos la idea básica con el ejemplo de la maximización del producto de dos números cuya suma es conocida. Para abordar esta cuestión, denotemos por 2a la suma dada, y por x e y los dos números. Estos verifican x + y = 2a, lo que permite expresar y en función de x y, por tanto, escribir el producto xy como 2ax – x2. La identidad notable recordada antes invita a introducir el cuadrado (x – a)2. Obtenemos xy = a2 – (x – a)2. Como el cuadrado (x – a)2 siempre es positivo y solo es nulo si x = a, deducimos que el máximo de xy es igual a a2 y que solo se alcanza si x e y son iguales.
La misma idea sirve para hallar el mínimo de la suma de dos números positivos cuando se conoce su producto. Para ello, basta escribir el producto y los dos números como cuadrados (de números positivos): a2, x2 e y2. La igualdad x2y2 = a2 implica xy = a. Usando la identidad notable, la suma de los dos números se escribe x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy, es decir, x2 + y2 = (x – y)2 + 2a. Por tanto, el mínimo de la suma es igual a 2a, y solo se alcanza si x e y son iguales.
Este resultado permite hallar el mínimo en el intervalo (0, +∞) de la función f definida por:
