El método PERT ---------------
En 1958, en plena guerra fría, la marina estadounidense buscaba desarrollar lo más rápidamente posible el sistema Polaris de submarinos portamisiles nucleares. El proyecto contaba con doscientos cincuenta proveedores, sin contar a los subcontratistas. Para coordinarlo todo, la marina desarrolló entonces un método basado en la teoría de grafos: el método PERT (Program Evaluation and Review Technique). Consiste en descomponer el proyecto en cierto número de tareas, cada una de las cuales debe ejecutarse después de otra —o no— y tiene una duración determinada. Se obtiene así un grafo formado por vértices (inicio y final de las tareas) y aristas (ejecución de las tareas con su duración). La idea de PERT es localizar en él el camino más largo que va del estado inicial (A en la figura) al estado final (F en la figura), señalado aquí en rojo.
Este camino determina el tiempo mínimo necesario para terminar el proyecto y pone de relieve las actividades más críticas. Con este método, el proyecto Polaris se completó en 1960, ¡cinco años antes de lo previsto inicialmente!
Del mismo modo, gracias al método PERT, desde el discurso de John Kennedy que anunciaba el proyecto estadounidense de enviar un hombre a la Luna (25 de mayo de 1961) hasta el alunizaje del Apolo 11 en nuestro satélite (20 de julio de 1969), ¡solo transcurrieron ocho años!
-
Minimizar sumas de valores absolutos ----------------------------------------
La función valor absoluto f (denotada por f (x) = | x |) no es derivable en su mínimo (f (0) = 0). Su derivada es constante en cualquier otro punto y salta de –1 a +1 en x = 0. Del mismo modo, la función g que asigna a x el valor | x – a | alcanza su mínimo (g (a) = 0) en x = a, punto en el que no es derivable. ¿Cómo se pueden minimizar sumas de valores absolutos de diferencias? Reflexionemos sobre la función h (x) = (| x – a | + | x – b |), donde a < b. Esta función continua es afín por tramos: presenta una primera semirrecta de pendiente –2 para todo valor de x menor que a, un segmento horizontal (de ordenada b – a) entre a y b, y una semirrecta de pendiente 2 para x > b. El mínimo se alcanza en todo punto del intervalo [a, b] (en la gráfica, a = 2 y b = 4).
Se razona de igual modo para la suma de varios valores absolutos. Basta ordenar los parámetros (aquí, a, b y c) de forma creciente (a < b < c) y considerar la función j (x) = (| x – a | + | x – c |) + | x – b |. El primer paréntesis alcanza su mínimo (esto es, c – a) para todo valor perteneciente a [a, c]. El segundo término (siempre positivo o nulo) alcanza su mínimo (el valor 0) en x = b, que pasa a ser entonces el único mínimo global de la función.
-
La métrica que justifica la mediana -----------------------------------
Dada una serie de datos x1, x2… *xn, ¿cómo resumir los n valores numéricos mediante una constante? Representar una sucesión de valores mediante un único número a genera una nueva serie, formada por los residuos (o errores) ei = xi – a. Para un resumen a* central y «bien elegido», algunos de estos errores son positivos y otros negativos. La «buena elección» de a debe satisfacer un criterio de minimización global de los errores. Para ello, se toman los valores absolutos de todos los errores y se suman. Una manera sencilla de proceder consiste en considerar como error total ET la suma de los valores absolutos de los errores. Se ordenan las observaciones de menor a mayor. Los términos se agrupan de dos en dos en una sucesión de intervalos anidados: se reúnen el primero y el último, el segundo y el penúltimo, y así sucesivamente. En el caso impar, hay un término central aislado, que corresponde al mínimo. Cuando el número de observaciones es par, hay dos observaciones «centrales». El mínimo se alcanza entonces para todo valor comprendido entre esos dos valores. ¡Así se recupera la noción de mediana! Por tanto, la métrica de los valores absolutos puede hacer que este parámetro de centralidad no sea único.