Muchos problemas de optimización proceden de situaciones geométricas: mínimos o máximos de longitudes, áreas y ángulos. La mayoría tienen, evidentemente, una solución algebraica, pero también podemos encontrarles, con un poco de ingenio, una solución exclusivamente geométrica, prueba de que se puede optimizar sin derivar.
Ilustres ejemplos
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Elyssa, princesa de Tiro, que, según la leyenda, huyó de su hermano Pigmalión después de que este asesinara a su esposo, en el 9.º siglo antes de nuestra era, encontró refugio en la actual Túnez, donde los autóctonos solo le concedieron lo que pudiera cubrir… la piel de un buey. Pero eso no la detuvo: cortó aquella piel en finas tiras para hacer una cuerda de cuatro kilómetros de longitud, que emplearía del mejor modo posible para cercar su territorio y fundar allí la ciudad de Cartago, de la que se convertiría en la primera reina con el nombre de Dido. El problema de Dido es uno de los problemas de optimización más antiguos, llamado isoperimétrico: maximizar un área para un perímetro dado. La forma del territorio concebido por Dido sería un semicírculo cuyo diámetro sería la costa del golfo de Túnez.
Un poco más próximo a nosotros, este otro magnífico problema de optimización fue planteado por primera vez en 1636 por Pierre de Fermat, magistrado apasionado por las matemáticas, en su Méthode du maximum et du minimum: «Dados tres puntos, hallar un cuarto tal que la suma de sus distancias a los tres puntos dados sea mínima.» Cuatro años después, Evangelista Torricelli propuso una solución geométrica que otros matemáticos mejorarían después, manteniéndose a menudo en el terreno de la geometría: Bonaventura Cavalieri en 1647, Vincenzo Viviani en 1659, Thomas Simpson en 1750, Franz Heinen en 1834… Sabemos ahora que la solución, si ninguno de los ángulos del triángulo supera los 120°, es un único punto interior al triángulo —llamado punto de Fermat, o también punto de Torricelli— desde el cual se ven los tres lados del triángulo bajo un ángulo de 120°.
