Il metodo PERT ---------------
Nel 1958, in piena guerra fredda, la marina statunitense cercava di sviluppare nel minor tempo possibile il sistema Polaris di sottomarini lanciamissili nucleari. Il progetto coinvolgeva duecentocinquanta fornitori, senza contare i subappaltatori. Per coordinare il tutto, la marina mise allora a punto un metodo basato sulla teoria dei grafi, il metodo PERT (Program Evaluation and Review Technique). Consiste nel scomporre il progetto in un certo numero di attività, ciascuna delle quali deve essere svolta dopo un’altra (oppure no) e ha una certa durata. Si ottiene così un grafo formato da nodi (inizio e fine delle attività) e lati (svolgimento delle attività con relativa durata). L’idea del PERT è individuare il cammino più lungo dallo stato iniziale (A nella figura) a quello finale (F nella figura), qui evidenziato in rosso.
Questo cammino fornisce il tempo minimo necessario per completare il progetto e mette in evidenza le attività più critiche. Con questo metodo, il progetto Polaris fu completato nel 1960, con cinque anni di anticipo sulle previsioni iniziali!
Allo stesso modo, grazie al metodo PERT, dal discorso con cui John Kennedy annunciò il progetto statunitense di inviare un uomo sulla Luna (25 maggio 1961) all’allunaggio dell’Apollo 11 sul nostro satellite (20 luglio 1969), trascorsero appena otto anni!
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Minimizzare somme di valori assoluti ----------------------------------------
La funzione valore assoluto f (indicata con f (x) = | x |) non è derivabile nel suo minimo (f (0) = 0). Altrove la sua derivata è costante e passa da –1 a +1 in x = 0. Analogamente, la funzione g che associa a x il valore | x – a | assume il minimo (g (a) = 0) in x = a, punto nel quale non è derivabile. Come si possono minimizzare somme di valori assoluti di differenze? Riflettiamo sulla funzione h (x) = (| x – a | + | x – b |), dove a < b. Questa funzione continua è affine a tratti: presenta una prima semiretta di pendenza –2 per ogni valore di x inferiore a a, un segmento orizzontale (di ordinata b – a) tra a e b, e una semiretta di pendenza 2 per x > b. Il minimo è assunto in ogni punto dell’intervallo [a, b] (nel grafico, a = 2 e b = 4).
Si ragiona allo stesso modo per la somma di più valori assoluti. Basta ordinare in senso crescente i parametri (qui a, b e c) (a < b < c) e considerare la funzione j (x) = (| x – a | + | x – c |) + | x – b |. La prima parentesi assume il suo minimo (ossia c – a) per ogni valore appartenente a [a, c]. Il secondo termine (sempre positivo o nullo) assume il minimo (valore 0) in x = b, che diventa quindi l’unico minimo globale della funzione.
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La metrica che giustifica la mediana -----------------------------------
In una data serie statistica x1, x2… *xn, come riassumere gli n valori numerici mediante una costante? Sostituire una successione di numeri variabili con un unico numero a dà luogo a una nuova serie statistica, composta dai residui (o errori) ei = xi – a. Per un valore riassuntivo a* «ben scelto», centrale, alcuni di questi errori sono positivi, altri negativi. La «buona scelta» di a deve corrispondere a un criterio di minimo globale degli errori. Si decide allora di rendere positivi tutti gli errori e di aggregarli. Un modo semplice per procedere consiste nel considerare come errore totale ET la somma dei valori assoluti degli errori. Si ordinano le osservazioni in senso crescente. Si raggruppano i termini a due a due considerando una successione di intervalli annidati, accoppiando il primo e l’ultimo, il secondo e il penultimo, e così via. Nel caso dispari, esiste un termine centrale isolato, che corrisponde al minimo. Nel caso di un numero pari di osservazioni, esistono due osservazioni «centrali». Il minimo è allora assunto per ogni valore compreso tra questi due valori. Si ritrova così la nozione di mediana! La metrica dei valori assoluti può dunque condurre alla non unicità di questo parametro di centralità.