Le carré d'un nombre réel est toujours positif, et n'est nul que si le nombre lui-même est nul. Quoi de plus anodin ? Si l'on ajoute à ce résultat trivial l'identité remarquable donnant le carré d'une somme, c'est-à-dire (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2, on peut déjà traiter un bon nombre de questions d'optimisation. Donnons l'idée de base sur l'exemple de la maximisation du produit de deux nombres quand leur somme est donnée. Pour traiter cette question, notons 2a la somme donnée, x et y les deux nombres. Ils vérifient x + y = 2a, ce qui permet d'écrire y en fonction de x, et donc le produit xy sous la forme 2ax – x2. L'identité remarquable rappelée ci-dessus invite à introduire le carré (x – a)2. On obtient xy = a2 – (x – a)2. Comme le carré (x – a)2 est toujours positif, et nul seulement si x = a, on en déduit que le maximum de xy est égal à a2 et qu'il n'est atteint que si x et y sont égaux.
La même idée fonctionne pour trouver le minimum de la somme de deux nombres positifs quand leur produit est donné. Pour cela, il suffit d'écrire le produit et les deux nombres comme des carrés (de nombres positifs) : a2, x2 et y2. L'égalité x2y2 = a2 implique xy = a. En utilisant l'identité remarquable, la somme des deux nombres s'écrit x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy, soit x2 + y2 = (x – y)2 + 2a. Le minimum de la somme est donc égal à 2a, et il n'est atteint que si x et y sont égaux.
Ce résultat permet de trouver le minimum sur ]0, +∞[ de la fonction f définie par :
