De nombreux problèmes d'optimisation proviennent de situations géométriques : minima ou maxima de longueurs, d'aires, d'angles. La plupart ont évidemment une solution algébrique, mais on peut aussi, avec un peu d'astuce, leur trouver une solution exclusivement géométrique, preuve que l'on peut optimiser sans dériver !
D'illustres exemples --------------------
Elyssa, princesse de Tyr, qui, selon la légende, fuit son frère Pygmalion après qu'il eut assassiné son époux, au IXe siècle avant notre ère, trouve refuge dans l'actuelle Tunisie, où les autochtones ne lui concèdent que ce que pourrait couvrir… la peau d'un bœuf. Qu'à cela ne tienne, elle découpe cette peau en fines lanières pour en faire une corde de quatre kilomètres de long, qu'elle va utiliser au mieux pour encercler son territoire et y fonder la ville de Carthage, dont elle deviendra la première reine sous le nom de Didon. Le problème de Didon est l'un des plus anciens problèmes d'optimisation, dit isopérimétrique : maximiser une aire pour un périmètre donné. La forme du territoire envisagé par Didon sera un demi-cercle ayant le rivage du golfe de Tunis pour diamètre.
Un peu plus proche de nous, cet autre magnifique problème d'optimisation a été posé pour la première fois en 1636 par Pierre de Fermat, magistrat féru de mathématiques, dans sa Méthode du maximum et du minimum : « Étant donnés trois points, en trouver un quatrième tel que la somme de ses distances aux trois points donnés soit minima. » Quatre années plus tard, Evangelista Torricelli en propose une solution géométrique, que d'autres mathématiciens après lui vont améliorer, restant souvent dans le domaine de la géométrie : Bonaventura Cavalieri en 1647, Vincenzo Viviani en 1659, Thomas Simpson en 1750, Franz Heinen en 1834… On sait donc maintenant que la solution, si aucun des angles du triangle n'excède 120°, est un unique point intérieur au triangle – appelé point de Fermat, ou encore point de Torricelli – et tel qu'on voit depuis ce point les trois côtés du triangle sous un angle de 120°.