En el 3.º siglo antes de nuestra era, Arquímedes se plantea la siguiente pregunta: dados dos puntos U y V de una parábola P, ¿cuál es el área de la región comprendida entre P y el segmento [UV ]?
Hoy en día, tendemos más bien a plantear la cuestión «en el otro sentido», es decir, a interesarnos por el área bajo la parábola (introduciendo segmentos adecuados), pero es fácil ver que ambas versiones son fundamentalmente equivalentes.
En la Antigüedad, la geometría no utilizaba la noción de sistema de coordenadas, tan común hoy, y la propia idea de que la parábola puede verse no como una línea, sino como la gráfica de una función, no estaba en absoluto sobre la mesa. Por tanto, las demostraciones matemáticas debían abrirse camino por vías que nos parecen bastante complejas, pero que no carecen de elegancia y que a veces también permiten poner de manifiesto ciertas propiedades inesperadas. La principal de ellas para una cuadratura de la parábola «a la antigua» es la siguiente. Dada una parábola P, llamemos punto medio parabólico (la denominación no es estándar; la introducimos aquí por falta de una expresión consagrada) de dos puntos U y V de P al punto I = m(U, V ) obtenido al proyectar sobre P, perpendicularmente a D (la directriz de P), el punto medio de [UV]. De manera equivalente, si tomamos P como la gráfica de la función f definida por f(x) = x 2 y ponemos U = (u ; u 2 ) y V = (v ; v 2 ), tenemos I = ((u + v)/2 ; ((u + v)/2) 2 ).