Retoma así el enfoque de Girard Desargues (1591-1661) y Blaise Pascal (1623-1662), abandonado durante dos siglos y eclipsado por la eficacia cartesiana. De vuelta en Francia, publica en 1822 su Traité des propriétés projectives des figures. La elipse, la hipérbola y la parábola ya no son sino distintas caras de una misma cónica, y el sabio estudia todas sus propiedades invariantes mediante transformaciones proyectivas. También introduce la noción de dualidad, que posteriormente se desarrollará mucho. Esta nueva mirada contiene las semillas de una renovación total de la geometría, que pasa del estudio de las figuras al de las transformaciones.
Los dos teoremas de Poncelet ------------------------------
El planteamiento de Poncelet permite demostrar, con total generalidad, propiedades que se interpretan de forma concreta en el marco de la geometría habitual.
Consideremos, pues, una parábola P\mathcal{P} de foco F y dos puntos A y A' de esta parábola. Llamemos M al punto de intersección de las tangentes a P\mathcal{P} en A y A'. El primer teorema de Poncelet permite afirmar que la recta (*MF ) es entonces una bisectriz del ángulo AFA′^\widehat{AFA'}.