Riprese così l’approccio di Girard Desargues (1591-1661) e Blaise Pascal (1623-1662), abbandonato per due secoli e sopraffatto dall’efficacia cartesiana. Tornato in Francia, pubblicò nel 1822 il suo Traité des propriétés projectives des figures. L’ellisse, l’iperbole e la parabola non erano ormai che aspetti diversi di un’unica conica, e lo studioso ne analizzò tutte le proprietà invarianti rispetto alle trasformazioni prospettive. Introdusse anche la nozione di dualità, che in seguito sarebbe stata ampiamente sviluppata. Questo nuovo sguardo racchiudeva i germi di un radicale rinnovamento della geometria, che passava dallo studio delle figure a quello delle trasformazioni.
I due teoremi di Poncelet
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L’approccio di Poncelet permette di dimostrare in tutta generalità proprietà che, nel quadro della geometria consueta, trovano un’interpretazione concreta.
Consideriamo dunque una parabola di fuoco F e due punti A e A' di questa parabola. Chiamiamo M il punto d’intersezione delle tangenti a nei punti A e A'. Il primo teorema di Poncelet consente di affermare che la retta (MF) è allora una bisettrice dell’angolo .
