Nel 3º secolo avanti Cristo, Archimede si pose la seguente domanda: dati due punti U e V su una parabola P, qual è l’area della regione compresa tra P e il segmento [UV ]?
Oggi si tende piuttosto a introdurre la questione «nell’altro verso», ossia interessandosi all’area sotto la parabola (introducendo segmenti opportuni), ma è facile vedere che le due versioni sono sostanzialmente equivalenti.
Nell’Antichità, la geometria non fa uso della nozione di sistema di riferimento, così comune oggi, e l’idea stessa che la parabola possa essere considerata non come una linea, bensì come il grafico di una funzione, non è affatto all’ordine del giorno. Le dimostrazioni matematiche devono dunque percorrere strade che ci sembrano piuttosto complesse, ma che non mancano di eleganza e offrono talvolta l’occasione di mettere in evidenza proprietà inattese. La principale, per una quadratura della parabola «all’antica», è la seguente. Data una parabola P, chiamiamo punto medio parabolico (la denominazione non è standard: la introduciamo qui in mancanza di un’espressione consacrata) di due punti U e V su P il punto I = m(U, V ) ottenuto proiettando sulla P, perpendicolarmente a D (la direttrice di P), il punto medio di [UV]. Equivalentemente, scegliendo per P il grafico della funzione f definita da f(x) = x 2 e ponendo U = (u ; u 2 ) e V = (v ; v 2 ), si ha I = ((u + v)/2 ; ((u + v)/2) 2 ).
