Laplace, preocupado por esta nueva «ciencia del azar» que trata de dominar, dispone de un modelo casi experimental para las probabilidades. Este modelo consiste en una urna que contiene bolas blancas y bolas negras. La prueba consiste en extraer una bola. En 1814, en su Essai philosophique sur les probabilités, sus reflexiones le permiten enunciar una ley en términos sencillos: «La probabilidad de que el cociente entre el número de bolas blancas extraídas y el número total de bolas extraídas no se aparte, más allá de un intervalo dado, del cociente entre el número de bolas blancas y el número total de bolas contenidas en la urna se aproxima indefinidamente a la certeza mediante la multiplicación indefinida de los sucesos, por pequeño que se suponga dicho intervalo.»
De hecho, Laplace publicó en 1810 una formulación matemáticamente mucho más precisa. Este resultado supone una auténtica conmoción, pues, al asumir un cargo en el Senado, Laplace pensaba que ya no participaría realmente en la ciencia activa. Incluso lo explica en el primer volumen de las Mémoires de physique et de chimie de la Société d’Arcueil.
Esta demostración recurre a una función que Laplace llama «característica», y le parece que se asemeja a la que Fourier había introducido poco antes en la última parte de su Théorie de la propagation de la chaleur. La demostración permite reunir en una teoría única todos los trabajos anteriores (desde 1774): por ello se presenta en la Théorie analytique des probabilités; recurre a la integral definida de una función exponencial con exponente ‒x2/2.
La filosofía entra en escena -----------------------------
Laplace no quiere que este resultado quede como un enunciado sin consecuencias filosóficas y quiere dar a conocer la naturaleza de sus propias reflexiones. Retoma ideas de juventud, concebidas cuando leía a Leibniz, en particular sus Essais de théodicée (escritos en francés y publicados en 1710); ahora las formula en lenguaje matemático, hablando de axiomas, pero sin olvidar por ello el antiguo lenguaje práctico de Aristóteles sobre las causas, lo que evita tener que desarrollar en exceso el formalismo.