Laplace, preoccupato da questa nuova «scienza del caso» che cerca di addomesticare, dispone di un modello quasi sperimentale per le probabilità. È il modello dell’urna contenente palline bianche e palline nere. L’esperimento consiste nell’estrarre una pallina. Nel 1814, nel suo Essai philosophique sur les probabilités, le sue riflessioni gli consentono di enunciare una legge in termini semplici: «La probabilità che il rapporto tra il numero di palline bianche estratte e il numero totale di palline estratte non si discosti, oltre un intervallo dato, dal rapporto tra il numero di palline bianche e il numero totale di palline contenute nell’urna, si avvicina indefinitamente alla certezza con la moltiplicazione indefinita degli eventi, per quanto piccolo si supponga tale intervallo.»
In realtà, Laplace pubblicò già nel 1810 una formulazione matematicamente assai più precisa. Il risultato suscitò un vero scalpore, poiché, assumendo un incarico al Senato, Laplace pensava di non partecipare più davvero alla scienza attiva. Lo spiegò persino nel primo volume delle Mémoires de physique et de chimie de la Société d’Arcueil.
Questa dimostrazione fa intervenire una funzione che Laplace chiama «caratteristica», e che gli sembra simile a quella introdotta poco prima da Fourier nell’ultima parte della sua Théorie de la propagation de la chaleur. La dimostrazione riunisce in una teoria unica tutti i lavori precedenti, a partire dal 1774: perciò viene esposta nella Théorie analytique des probabilités; fa intervenire l’integrale definito di una funzione esponenziale con esponente ‒x2/2.
La filosofia entra in scena -----------------------------
Laplace non vuole che questo risultato resti un enunciato privo di conseguenze filosofiche e desidera far conoscere la natura delle proprie riflessioni. Riprende idee giovanili, formatesi quando leggeva Leibniz, in particolare i suoi Essais de théodicée (scritti in francese e pubblicati nel 1710); ora le formula in linguaggio matematico, parlando di assiomi, senza però dimenticare il vecchio linguaggio pratico di Aristotele sulle cause, il che evita di sviluppare troppo il formalismo.