Nei suoi lavori scientifici, Laplace sapeva sfruttare un’elementare proprietà insiemistica delle funzioni per dimostrare in modo inatteso un risultato, come nel caso del teorema fondamentale dell’algebra (vedi il riquadro alla fine dell’articolo « Un interesse pedagogico per la trasmissione del sapere »). Eppure lo scienziato non viene generalmente citato per un simile gioco di funzioni. Queste funzioni resteranno nella pratica matematica. Laplace non crea dunque matematica fine a sé stessa, ma sempre con un obiettivo preciso, che riguardi la meccanica celeste, le probabilità o la fisica.
La funzione potenziale ------------------------
Certo, fu Lagrange a introdurre la funzione potenziale per studiare l’attrazione delle masse. Ma Laplace impiega questa nozione per stabilire che, al di fuori delle masse, tale funzione di tre variabili spaziali ha laplaciano nullo. In altre parole, la somma delle derivate parziali seconde rispetto alle tre variabili spaziali è nulla.
Laplace si interessò alla forma non sferica dei pianeti, oggetto del suo primo libro, pubblicato nel 1784, Théorie du mouvement et de la figure elliptique des planètes (vedi il riquadro). Il matematico vi definisce una funzione V in un punto M, di coordinate x, y e z in un sistema di riferimento ortonormale, come l’integrale triplo, esteso a tutto lo spazio dei punti M’, dell’elemento differenziale di massa in M’, punto di coordinate x’, y’ e z’, diviso per la distanza r da M’ a M. Questa funzione V riassume l’essenziale dell’attrazione poiché, nel punto M, la forza attrattiva ha, a meno del segno, come componenti nel sistema di riferimento ortonormale le tre derivate parziali rispetto alle tre variabili, nell’ordine.
Questa rappresentazione analitica della forza mediante una sola funzione presenta molteplici vantaggi, tra cui quello di avere laplaciano nullo, semplicemente perché questa è la proprietà della funzione che, a r > 0, associa 1/r. Laplace scrive subito il laplaciano non in coordinate cartesiane, bensì in coordinate sferiche: può quindi affrontare la risoluzione dell’equazione del laplaciano, introducendo polinomi indicizzati secondo il loro grado, che possiedono una proprietà di ortogonalità, poiché un certo integrale del prodotto corrispondente a due gradi distinti è nullo. È un approccio, lontano antenato della geometrizzazione dell’analisi di Hilbert, che Legendre aveva avviato, ma senza la stessa generalità; non a caso oggi questi polinomi sono chiamati polinomi di Legendre.