Dans ses travaux scientifiques, Laplace savait faire jouer une propriété ensembliste élémentaire des fonctions pour démontrer, d’une façon inattendue, un résultat comme pour le théorème fondamental de l’algèbre (voir encadré à la fin de l'article « Un intérêt pédagogique pour la transmission des savoirs »). Or, le savant n’est généralement pas cité pour un tel jeu fonctionnel. Ces fonctions resteront dans la pratique des mathématiques. Ainsi, Laplace ne crée pas des mathématiques pour elles-mêmes, mais toujours avec un objectif précis, qu’il soit de mécanique céleste, de probabilités, ou encore de physique.
La fonction du potentiel ------------------------
Certes, c’est Lagrange qui introduisit la fonction du potentiel pour l’étude de l’attraction des masses. Mais Laplace se sert de cette notion de façon à établir qu’en dehors des masses, cette fonction de trois variables d’espace satisfait la nullité du laplacien de ce potentiel. En d’autres termes, la somme des dérivées partielles du second ordre par rapport aux trois variables d’espace est nulle.
Laplace s’intéresse à la forme non sphérique des planètes, qui est l’objet de son premier livre publié en 1784, Théorie du mouvement et de la figure elliptique des planètes (voir encadré). Le mathématicien y définit une fonction notée V en un point M, de coordonnées x, y et z dans un repère orthonormé, comme étant l’intégrale triple, sur tout l’espace, des points M’ du quotient de l’élément différentiel de masse en M’, point de coordonnées x’, y’ et z’, par la distance r de M’ à M. Cette fonction V récapitule l’essentiel de l’attraction puisque, en ce point M, la force attractive a, au signe près, comme composantes dans le repère orthonormé les trois dérivées partielles successivement dans les trois variables.
Cette représentation analytique de la force par une seule fonction a de multiples avantages, dont celle d’avoir un laplacien nul, tout simplement parce que telle est la propriété de la fonction qui, à r > 0, associe 1/r. Immédiatement, Laplace écrit le laplacien, non en coordonnées cartésiennes, mais en coordonnées sphériques : il peut passer à la question de la résolution de l’équation du laplacien, introduisant des polynômes indexés par leur degré, qui se trouvent posséder une propriété d’orthogonalité, parce qu’une certaine intégrale du produit pour deux degrés distincts est nulle. C’est une façon, lointain ancêtre de la géométrisation de l’analyse de Hilbert, qu’avait débutée Legendre, mais sans en avoir la généralité, et les polynômes sont bien appelés aujourd’hui polynômes de Legendre.