En sus trabajos científicos, Laplace sabía aprovechar una propiedad elemental de las funciones relativa a los conjuntos para demostrar, de manera inesperada, un resultado como el teorema fundamental del álgebra (véase el recuadro al final del artículo « Un interés pedagógico para la transmisión de los conocimientos »). Ahora bien, no suele citarse al científico por un juego funcional semejante. Estas funciones perdurarán en la práctica matemática. Así, Laplace no crea matemáticas por sí mismas, sino siempre con un objetivo preciso, ya sea de mecánica celeste, de probabilidades o de física.
La función potencial ------------------------
Es cierto que fue Lagrange quien introdujo la función potencial para estudiar la atracción de las masas. Pero Laplace utiliza esta noción para establecer que, fuera de las masas, esta función de tres variables espaciales tiene un laplaciano nulo. En otras palabras, la suma de las derivadas parciales de segundo orden respecto de las tres variables espaciales es nula.
Laplace se interesa por la forma no esférica de los planetas, tema de su primer libro, publicado en 1784, Théorie du mouvement et de la figure elliptique des planètes (véase el recuadro). En él, el matemático define una función V en un punto M, de coordenadas x, y y z en un sistema de referencia ortonormado, como la integral triple, extendida a todo el espacio, del cociente entre el elemento diferencial de masa en M’, punto de coordenadas x’, y’ y z’, y la distancia r de M’ a M. Esta función V recoge lo esencial de la atracción, pues en ese punto M la fuerza atractiva tiene, salvo el signo, como componentes en el sistema de referencia ortonormado las tres derivadas parciales con respecto a las tres variables, respectivamente.
Esta representación analítica de la fuerza mediante una sola función presenta múltiples ventajas, entre ellas que su laplaciano sea nulo, sencillamente porque esa es la propiedad de la función que, para r > 0, asigna 1/r. Laplace escribe de inmediato el laplaciano, no en coordenadas cartesianas, sino en coordenadas esféricas: puede abordar la resolución de la ecuación del laplaciano e introduce polinomios indexados por su grado, que poseen una propiedad de ortogonalidad, pues cierta integral del producto correspondiente a dos grados distintos es nula. Es un remoto antecedente de la geometrización del análisis de Hilbert: una forma de proceder que había iniciado Legendre, aunque sin tal generalidad; hoy esos polinomios reciben precisamente el nombre de polinomios de Legendre.