Laplace, préoccupé par cette nouvelle « science du hasard » qu’il tente d’apprivoiser, dispose d’un modèle quasi expérimental pour les probabilités. Ce modèle est celui de l’urne qui contient des boules blanches et des boules noires. L’épreuve consiste à tirer une boule. En 1814, dans son Essai philosophique sur les probabilités, ses réflexions lui permettent d’énoncer une loi en termes simples : « La probabilité que le rapport du nombre des boules blanches extraites au nombre total des boules sorties ne s’écarte pas au-delà d’un intervalle donné du rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules contenues dans l’urne, approche indéfiniment de la certitude par la multiplication indéfinie des évènements, quelque petit que l’on suppose cet intervalle. »
De fait, une formulation mathématiquement bien plus précise est publiée par Laplace en 1810. Ce résultat est un véritable choc en ce sens qu’en prenant une charge au Sénat, Laplace pensait ne plus véritablement participer à la science active. Il s’en explique même dans le premier volume des Mémoires de physique et de chimie de la Société d’Arcueil.
Cette démonstration fait intervenir une fonction que Laplace appelle « caractéristique », et il a l’impression qu’elle ressemble à ce que Fourier a introduit peu de temps auparavant dans la dernière partie de sa Théorie de la propagation de la chaleur. La preuve permet de rassembler en une théorie unique tous les travaux anciens (depuis 1774) : elle est donc donnée dans la Théorie analytique des probabilités ; elle fait intervenir l’intégrale définie d’une fonction en exponentielle de puissance ‒x2/2.
La philosophie entre en scène -----------------------------
Laplace ne souhaite pas laisser ce résultat comme un énoncé qui n’aurait pas de conséquence philosophique et tient à faire savoir la nature de ses propres réflexions. Il reprend des idées de jeunesse, formées alors qu’il lisait Leibniz, notamment ses Essais de théodicée (écrits en français et publiés en 1710) ; il les formule maintenant dans un langage de mathématicien, parlant d’axiomes, mais sans pour autant oublier le vieux langage pratique d’Aristote sur les causes, ce qui évite d’avoir à trop développer le formalisme.