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La competencia matemática está en el centro de la demanda de numerosos sectores industriales. La cantidad de matemáticas movilizadas por ciertos sectores, como la aeronáutica o la 5G, es impresionante. En el procesamiento de imágenes, permiten gestionar la compresión, la transmisión, la eliminación de ruido o la restauración de archivos digitales. Ramas enteras de las matemáticas se crean para responder a estas necesidades. Es el caso de la geometría de la información, nacida de la voluntad de geometrizar los espacios de distribuciones de probabilidad. El HPC (cálculo de alto rendimiento), que consiste en utilizar múltiples unidades para realizar cálculos muy intensivos, está en pleno desarrollo, en particular gracias al grupo Total, que ha sido un pionero.

Redoblando de ingenio, los artesanos de los mosaicos que adornan los monumentos del Imperio romano, los constructores de la Edad Media o los creadores de sangaku, estas étonnantes tablas japonesas, han utilizado ampliamente los dos instrumentos fetiches. Pero también es el caso (de manera virtual) de los programas de geometría dinámica de hoy en día, que responden siempre a las mismas necesidades: transportar longitudes y unir puntos. En cuanto a la recién llegada teoría matemática de los origamis, se apoya en... la ausencia de regla y compás, pero las propiedades de las rectas y de los círculos siguen siendo igualmente presentes.

A todo seigneur, todo honneur: la geometría es la primera en beneficiarse de la introducción de los números imaginarios. La representación de los complejos como puntos del plano permite «codificar» hábilmente una transformación, de «capturar» apropiadamente el lugar de un punto que se desplaza. Homotecias, similitudes y otras inversiones reciben así una interpretación algebraica simple y se vuelven fácilmente manipulables. Gracias a la herramienta poderosa de los números complejos, resultados de geometría pueden demostrarse, incluso ser descubiertos, como el teorema de Marden. Noções, como la de los fractales, pueden ponerse de relieve.

Porque evolucionamos en un universo de tres dimensiones, representarlo se ha convertido en un desafío tecnológico. Aún más porque con el volumen está asociada la representación del movimiento. En nuestras pantallas, el desarrollo de las herramientas de diseño asistido por computadora responde, originalmente, a las necesidades de una industria que busca superar el prototipado por maqueta, demasiado costoso en tiempo y recursos. La ilusión del volumen se adquiere estudiando las especificidades de nuestro sistema visual, que funciona a partir de señales luminosas recogidas por nuestros dos ojos separados. Se necesitan pantallas o gafas adaptadas para reproducirlo, aunque algunos creen que algún día se podrá obtener este engaño a partir de una imagen plana. Pero el 3D no se limita a la ilusión del volumen. Se recrea físicamente con el auge de las impresoras 3D cuyo procedimiento, funcionando plano por plano, incluso línea por línea, no deja de recordar el de los escáneres.

Las curvas han invadido desde siempre el cotidiano de los hombres. Primero las líneas rectas y los círculos, por supuesto, pero también las cónicas, las espirales, las hélices, u otras más inspiradas por la línea de un edificio, el trazado de una pista o la forma de un cordel. Sin embargo, es difícil proponer definiciones rigurosas de ellas. Hubo que esperar al nacimiento del análisis para disponer de una herramienta que permita estudiarlas. Provenientes de ecuaciones paramétricas o implícitas, expresadas en coordenadas cartesianas o en coordenadas polares, fascinan invariablemente a los científicos como a los aficionados a la bella geometría. ¡Bienvenidos al país de las curvas!

Un matemático premio Nobel de física. El Nobel 2020, otorgado a Sir Roger Penrose, Andrea Ghez y Reinhard Genzel, es la ocasión de volver sobre la bella historia de un sabio fuera de lo común, apasionado y entusiasta, cuyos trabajos en topología han contribuido a esclarecer nuestro conocimiento de los agujeros negros. Su formación en matemáticas puras se concluyó con una tesis de geometría algebraica. Su descubrimiento ingenioso de figuras imposibles y empaquetamientos aperiódicos le ha dado a conocer del gran público. El establecimiento del primer teorema sobre las singularidades en relatividad general ha conducido a la justificación de la existencia de los agujeros negros. Sir Roger Penrose, generoso con su tiempo y su energía, entrega en este número de Tangente una entrevista exclusiva.

Sin prohibirse las herramientas tradicionales de la escritura, el cálculo mental puede enriquecerse con objetos que permiten fijar el desarrollo de una operación. Por ejemplo, en lugar de considerar un número a partir de su escritura decimal, ciertos calculadores lo visualizan imaginándolo escrito en un ábaco. Al manipular internamente las cuentas del soroban en lugar de las cifras habituales, o bien utilizando inteligentemente el apoyo de los dedos, se abren nuevos horizontes para desarrollar nuestras capacidades de cálculo en nuevas direcciones.

China está lejos de ser la única civilización extremo-oriental que ha alcanzado un alto grado de profundización matemática. Japón y Corea se han alimentado de ella para desarrollar sus propios conocimientos y prácticas. En Japón, el wasan de la época de Edo está lejos de ser una pálida copia de los modelos chinos: allí se encuentra particularmente la intrigante práctica de los sangaku, que combina geometría, arte y espiritualidad. Posteriormente, el yōsan de la era Meiji es particularmente el lugar de cuestiones de método pero también de lingüística para absorber las matemáticas anglófonas. En cuanto a Corea, se dominaban métodos de eliminación algebraica muy por delante de los de Europa, dando lugar particularmente a cuadrados mágicos que Euler redescubrió mucho después.

Descubiertos por casualidad a lo largo del siglo xx, los flexágonos son objetos planos, generalmente de papel, que, al desplegarse, muestran caras ocultas. Los hay de diferentes formas y complejidades diversas. Estos fascinantes objetos geométricos aún no han revelado todos sus secretos y muchas propiedades quedan por explorar. Este dossier permitirá al lector novato iniciarse en la « flexología » construyendo sus primeros flexágonos para manipular. Para los demás, el descubrimiento de algunos ejemplos de flexaedros será la ocasión de interrogarse sobre las propiedades de rigidez de los poliedros.

Las sucesiones infinitas de números siempre han intrigado a los matemáticos, quienes desarrollaron de manera consensuada el concepto de convergencia y de límite. Pero todo cambió cuando se interesaron por las sumas sucesivas de estas sucesiones, a las que se les dio el nombre de series. Las series convergentes (las « buenas »), estudiadas por todos los que se orientan a una carrera científica, no plantean ningún problema. Permiten definir la suma de una infinidad de términos, siempre que las « sumas parciales » converjan hacia un límite. Pero las otras, oficialmente « divergentes » (las « malas »), fueron el origen de enfoques muy diferentes, a veces sorprendentes, creando verdaderos conflictos filosóficos entre científicos célebres. Euler, Abel y algunos pioneros se arriesgaron a imaginar cómo definir sus sumas, encontrando algunas maravillas… que hoy son objeto de una hermosa teoría.