Dossiers

Este tercer número especial de 2020, que se publica dentro de los plazos habituales a pesar de los eventos trágicos del año, está dedicado a la Investigación Operativa. El equipo de Tangente agradece a las dos sociedades científicas, la ROADEF y el GDR RO, que se han involucrado profundamente en su redacción. Gracias a los miembros del Comité Científico, y en particular a Nadia Brauner, que han dedicado mucho tiempo al éxito de este número.

Por lo general, se dice de una situación que es « paradójica » sin saber realmente qué significa la noción de paradoja. Si esta palabra es difusa, es porque el concepto de paradoja puede adoptar muchos significados, especialmente en matemáticas: un resultado que parece absurdo, un resultado que parece ir en contra de una teoría, incluso una situación en la que ya no se sabe qué concluir. El punto común de todas estas acepciones es el asombro que se siente, un asombro beneficioso para el espíritu porque obliga a hacerse preguntas: ¿me habría dejado engañar por mi intuición? Este será el caso de las paradojas de Simpson y de Penney. ¿Seré capaz de encontrar una respuesta convincente? Lo veremos con la paradoja de las dos sobres. ¿El marco conceptual del problema tendría un punto ciego? Esta será la aventura de la paradoja de Allais. Terminaremos con el aperitivo…

Siempre es un placer, en Tangente, reencontrar los números, fieles compañeros de camino del matemático. Los encontramos en efecto en todas partes: están en la base de nuestros sistemas de numeración, nos interrogamos sobre la distribución de los números primos, nos maravillamos ante sus propiedades aritméticas, como con el teorema de los restos chinos...

Álgebra, análisis: la doble naturaleza de los polinomios los hace indispensables. En álgebra, actúan un poco como los números; se pueden sumar, multiplicar, dividir, factorizar… En análisis, se transforman en funciones. Su simplicidad y flexibilidad les permiten facilitar la noción de integración y aproximar otras funciones más complejas, con una propiedad fascinante: su cualidad de « ajustarse » a la curva representativa de cualquier función derivable en un intervalo. ¡Y los polinomios no han dicho su última palabra! Aún guardan muchas sorpresas para quien se lance a su estudio.

Un punto y una curva: es todo lo que se necesita para definir una noción geométrica de una eficiencia formidable, la potencia de un punto. El caso más conocido, aunque hoy ausente de los programas escolares, es la potencia de un punto respecto a una circunferencia, o más generalmente respecto a una cónica. Desde la Antigüedad, ¡Euclides podría haber desarrollado esta noción! Sin embargo, habrá que esperar hasta el siglo XIX para que Jakob Steiner se lance en un estudio sistemático de estas transformaciones. La potencia de un punto simplifica considerablemente la búsqueda de lugares geométricos y conduce a la noción de dualidad, abriendo así vastas y nuevas perspectivas.

Son el motor de las matemáticas. Los que despiertan la curiosidad, intrigan a los investigadores y provocan avances. ¿Quiénes son? ¡Los problemas abiertos, las conjeturas, las hipótesis! Las numerosas conjeturas que salpican su historia, como la de Goldbach en teoría de números, la de Toeplitz en geometría o la de Poincaré en topología, son ejemplos. Las conjeturas, una vez resueltas, invitan a otras creando una cadena ininterrumpida de progresión del saber. Una conjetura es un resultado que se presume, del que no se ha encontrado ningún contraejemplo, pero que no está demostrado. En un problema abierto, en cambio, el resultado buscado no se conoce. Todas las ramas de las matemáticas rebosan de ellos: topología, combinatoria, análisis, probabilidades, estadísticas... Incluso en geometría, objetos tan simples como las redes de poliedros escapan todavía a nuestra comprensión.

En el ámbito de la combinatoria, las contribuciones de Paul Erdős han sido fundamentales. Han permitido que esta disciplina alcanzara su envergadura. Numerosas investigaciones actuales se basan en sus trabajos para estudiar grafos en todos los ámbitos con el fin, por ejemplo, de modelizar los divisores de los números, las infraestructuras de Internet o las epidemias. Una de sus innovaciones fue apoyarse en las probabilidades para demostrar resultados sobre grandes conjuntos. También se interesó por los grafos aleatorios en los que se añaden aristas de manera aleatoria hasta observar la aparición de una determinada propiedad.

Aparecido claramente en escritos de Pascal sobre cuestiones aritméticas y combinatorias (entre los cuales el triángulo de Pascal), el razonamiento por inducción encuentra un lugar natural en el estudio de las sucesiones, permitiendo formalizar, generalizar y luego mejorar métodos de resolución aproximada de ecuaciones conocidas desde siglos. Henri Poincaré dirá que es « el razonamiento matemático por excelencia ». La inducción permite construcciones entre las más memorables, de la sucesión de Fibonacci al algoritmo de Herón (para aproximar la raíz cuadrada de un número positivo). Si la iteración de un proceso computacional responde a problemáticas prácticas desde la Antigüedad (a menudo para mejorar la precisión de un resultado o resolver de forma concreta un problema), iterar un razonamiento permite acceder a consideraciones más teóricas.

Terence Tao es el más conocido de los superdotados en matemáticas de nuestra época. En este dossier se encontrará mucha información sobre él, sus estudios, sus trabajos, los resultados que ha obtenido, los premios que se le han adjudicado… Su actividad desmiente la idea de que las matemáticas se han vuelto tan vastas que un matemático ya no puede, por sí solo, abarcar toda su extensión. A sus éxitos matemáticos se suma una formidable voluntad de compartir. Da fe de ello su blog, de una riqueza inagotable, donde « Terry » prodiga mil consejos, desde temas especializados donde sus respuestas permiten hacer avanzar la investigación, hasta otros más generales, como la manera de abordar la gestión de una carrera de matemático. Su compromiso con los proyectos colaborativos va en esta dirección, a través de su inversión en la « ciencia abierta » o la energía que pone al servicio de los proyectos Polymath. Partamos al descubrimiento de este matemático excepcional…