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«Matemático maldito», «genio romántico», «el Rimbaud de las matemáticas», «el Mozart del álgebra», «espíritu incomprendido»… No son las expresiones que faltan para calificar la corta vida de Évariste Galois, joven matemático muerto a los 20 años en un duelo oscuro. El misterio en torno a ciertos pasajes de su vida, al igual que la profundidad de sus ideas, añaden a la leyenda de un icono del que estamos lejos de haber abarcado la personalidad y la posteridad científica!

Henri Poincaré revisa a su manera cada uno de los dominios matemáticos que elige investigar. Prefiere pensar por sí mismo, redescubrir los resultados principales, hacer énfasis en el estudio cualitativo de las soluciones de las ecuaciones diferenciales. En esto, hace una elección innovadora que le permite abrir vastos horizontes científicos, o renovar con creatividad, como las geometrías no euclidianas. Acumula así descubrimientos originales de los que resulta una gran y rápida notoriedad e encarna la interacción de los múltiples dominios matemáticos. Haciendo dialogar topología y geometría, abre caminos que, décadas después de su muerte, siguen siendo fecundos.

La riqueza de las curvas se explota en numerosos campos. En matemáticas, han servido para resolver problemas geométricos, a veces imposibles con regla y compás, como la trisección del ángulo o la duplicación del cubo. Más generalmente, su carácter visual da origen a mil enigmas, problemas o conjeturas. ¿Cuál es la forma ideal de una bifurcación para hacer circular un vehículo? Si numerosas curvas provienen de la observación de movimientos, inversamente, otras permiten aportar soluciones a problemas de astronomía o de física. Y, como todas las bellas ideas geométricas, poseen una estética propia que se encuentra con alegría en el arte o el diseño.

Hypatia no Attribution ningún texto a su nombre aunque es certamente la autora de numerosos pasajes de obras eruditas. Émilie du Châtelet es una mujer que quiere vivir plenamente sin tener que elegir entre el amor y la ciencia. Mary Somerville tuvo un primer matrimonio con un hombre que no tenía ninguna estima por las capacidades intelectuales de su sexo. Sofia Kovalevskaia solo sueña con poesía. Al adentrarnos en la intimidad de la vida multifaceted de las matemáticas, percibimos las mil y una formas en que integran las matemáticas en ella.

Menos célebre que la elipse o la parábola, la hipérbola merece que nos detengamos en ella. Después de establecer las definiciones, este dossier parte al descubrimiento de sus riquezas ocultas. Reemplacen el círculo trigonométrico por una hipérbola: el seno y el coseno se metamorfosean en nuevos objetos, tan elegantes como inesperados. Háganla girar alrededor de su eje: el hiperboloide de revolución que resulta fascina a arquitectos e ingenieros por sus propiedades estructurales fuera de lo común. Y last but not least: donde la regla y el compás fracasan — trisección del ángulo, construcción del heptágono regular — la hipérbola, ella, lo logra.

La necesidad hace ley, se dice, y en matemáticas así es en efecto a menudo. Incluso cuando una idea parece aberrante, si resulta útil entonces termina por encontrar su lugar. El número i, este « número cuyo cuadrado es −1 » que la regla de los signos prohíbe que exista, es de la misma clase. Algunos resultados obtenidos con él eran dudosos o incluso incoherentes. Sobre todo, no se lograba hacerse una representación concreta del mismo. Sus iniciadores como Bombelli, en el Renacimiento italiano, estaban sin duda lejos de imaginar que la rareza de cálculo que utilizaban con recelo sería algún día elevada al rango de constante fundamental del álgebra.

Aplicar los procesos iterativos del pasado podía resultar largo y tedioso. Con la llegada de la informática, se abrieron nuevos caminos. La escritura de programas recursivos, que se llaman a sí mismos, permite demostrar más fácilmente el correcto funcionamiento de un algoritmo. Desde un punto de vista práctico, la recursividad ofrece una alternativa elegante y a menudo transparente a los bucles. La escritura (corta) de estos programas recursivos, aliada a una potencia de cálculo creciente, abre horizontes en la resolución de problemas variados que aún ocupan a los matemáticos, en combinatoria, geometría o investigación operativa. El auge de las fractales caras a Benoît Mandelbrot también permite a cualquier persona experimentar hoy en día este poderoso concepto de una función que se llama a sí misma.

Generalmente nos gusta destacar a los matemáticos « de genio », aquellos que, desde muy temprano, han mostrado innegables disposiciones para la reina de las ciencias. Se habla menos de aquellos, igualmente merecedores, que continúan su actividad más allá de una edad canónica o incluso venerable. En efecto, hay que recordarlo: si las matemáticas se ofrecen maravillosamente al ardor de la juventud, pueden seducir a todos los públicos, a todas las edades. ¡Las neurociencias lo confirman hoy! Esto es lo que explica la extraordinaria longevidad de algunos investigadores, que siempre han seguido su curiosidad y nunca han dejado de intentar desentrañar los misterios más profundos de la ciencia matemática.

Alimentada por conceptos que toman de la lógica formal tanto como de la teoría de probabilidades, la IA es un vasto proyecto que prepara una parte significativa de nuestro futuro. Las matemáticas desempeñan, y desempeñarán, un papel clave. Todos los sectores están involucrados, de la lógica a las redes neuronales, de las probabilidades a las estadísticas… Incluso se explochan las propiedades algebraicas de las funciones racionales. Corresponde a los actores del mundo matemático contribuir a iluminar a los ciudadanos sobre los enjeux de esta nueva transformación.

La mayoría de las teorías físicas fueron imaginadas abstractamente antes de ser (o no) validadas, a veces mucho después, por observaciones. Hoy en día todavía, las exploraciones continúan y proponen nuevas visiones de nuestro mundo, que algún día serán confirmadas o desmentidas. Son a menudo matemáticos audaces los que se han arriesgado así en un terreno que aparentemente no es el suyo, aunque las dos disciplinas hayan estado muy próximas hasta el siglo pasado. Sin embargo, ¿quién mejor que estos aventureros de los conceptos abstractos puede descubrir una ley oculta? Entre ellos, una mujer, Emmy Noether, ha logrado apoyar una parte de la física en la investigación y el estudio de invariantes, convirtiéndose así en una pionera de la física matemática moderna. Algunos de los famosos problemas de David Hilbert están, también, en relación con la física.