Suma de una serie aritmética… al alcance de un Gauss ========================================================================================================
Una sucesión aritmética queda definida por su término inicial, a0, y por su razón, r. Cada término de la sucesión es igual al término anterior más la razón. Así, el término de índice 1 es igual a a1 = a0 + r, el siguiente a a2 = a0 + r + r = a0 + 2r, y así sucesivamente. El término de índice n es igual a *an = a*0 + n × r.
¿Cómo calcular una suma parcial (suma de los primeros términos) de una serie aritmética (serie cuyos términos están en progresión aritmética)? Una solución de una simplicidad asombrosa se atribuye, según cuenta la leyenda, a Carl Friedrich Gauss, cuando no era más que un niño. Al considerarlo demasiado inquieto en clase, un profesor le pidió, para poder estar tranquilo, que calculase la suma de los cien primeros números naturales. ¡Cuál no sería su sorpresa al recibir la respuesta apenas unos segundos después! Gauss había escrito los números naturales en la primera fila en orden creciente y en la segunda, en orden decreciente:
1 2 3 4 ... 99 100
100 99 98 97 ... 2 1
Al sumar las cien columnas, cada una de las cuales suma 101, llegó muy rápidamente a la conclusión de que la suma pedida era igual a la mitad de 10 100, es decir, 5 050.
La generalización de este método permite demostrar que la suma S*n* de los términos de la serie anterior (a0 + a1 + a2 + a3 + a4 +… *an*) es igual a
(n+1)(2a0+nr)2.\frac{(n+1)(2a_0+nr)}{2}.
**Suma de una serie geométrica**
Una sucesión geométrica también queda definida por su término inicial a0 y por su razón, r. Pero esta vez, cada término de la sucesión es igual al término anterior multiplicado por la razón. Así, el término de índice n es igual a *an = a*0 *rn*.
¿Cómo calcular su suma parcial S*n = a*0 + a1 + a2 + a3 + a4 + … *an? Se distinguen dos casos. El primero, trivial, corresponde al caso en que la razón vale 1. La sucesión es constante y la suma de los términos de 0 a n es igual a (n + 1) × a*0. En el caso general, el truco consiste en multiplicar S*n por (1 – r*). Obtenemos entonces:
(1 – r) S*n = a*0 (1 – r)(1 + r + r2 + r3 + r4 + … + *rn*).
Al desarrollar el producto (1 – r)(1 + r + r2 + r3 + r4 + … + *rn), se observa que los términos se anulan dos a dos y que solo queda 1 – rn*+1. Así,
Sn=a01−rn+11−rS_n=a_0\frac{1-r^{n+1}}{1-r}
Casos límite
¿Se puede calcular la suma de un número infinito de números reales? La respuesta es… «a veces». Si empezamos por los casos más sencillos, las dos progresiones —aritmética y geométrica—:
• la suma de una serie aritmética no nula tiene siempre un límite infinito (+∞ o –∞);
• la suma de una serie geométrica no nula admite un límite finito si y solo si el valor absoluto de su razón es estrictamente menor que 1; en este caso, *r n*+1 tiende a 0 cuando n crece, y la suma se aproxima cada vez más al límite
a01−r.\frac{a_0}{1-r}.
La cuestión puede ampliarse a otras series. Entonces habrá que recurrir al análisis real para llegar a la conclusión de que existe una suma S, el límite de las sumas parciales. Se habla entonces de convergencia de la serie.
Atención: a veces se puede demostrar que este límite existe sin conocer necesariamente su valor. Para llegar a esta conclusión, a menudo serán necesarios algunos resultados relacionados con la estructura topológica de los números reales. He aquí el más sencillo de ellos: Una sucesión creciente y acotada superiormente de números reales admite siempre un límite.
Así, una serie de números positivos cuyas sumas parciales están acotadas superiormente es siempre convergente. Como consecuencia, si los términos *un de una serie están acotados superiormente por los términos vn* de una serie convergente, entonces la serie ∑un\sum u_n es convergente.
Podemos servirnos entonces de la convergencia de toda serie geométrica de razón positiva r < 1 para obtener un resultado muy útil: si el cociente de dos términos consecutivos de una serie de términos positivos un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} es menor que un número r estrictamente menor que 1, entonces la serie ∑un\sum u_n es convergente.