Somma di una serie aritmetica… alla portata di un Gauss ========================================================================================================
Una successione aritmetica è definita dal suo termine iniziale, a0, e dalla sua ragione, r. Ciascun termine della successione è uguale al termine precedente a cui si aggiunge la ragione. Così, il termine di indice 1 è uguale a a1 = a0 + r, il successivo a a2 = a0 + r + r = a0 + 2r, e così via. Il termine di indice n è uguale a *an = a*0 + n × r.
Come calcolare una somma parziale (la somma dei primi termini) di una serie aritmetica (una serie i cui termini sono in progressione aritmetica)? Una soluzione di sorprendente semplicità si deve, narra la leggenda matematica, a Carl Friedrich Gauss, quando era ancora bambino. Giudicandolo troppo vivace in classe, un insegnante gli chiese di calcolare la somma dei primi cento numeri interi, per potersene stare tranquillo. Quale fu la sua sorpresa nel ricevere la risposta pochi secondi dopo! Gauss aveva scritto gli interi sulla prima riga in ordine crescente, sulla seconda in ordine decrescente:
1 2 3 4 ... 99 100
100 99 98 97 ... 2 1
Sommando le cento colonne (ciascuna delle quali dà 101), giunse molto rapidamente alla conclusione che la somma richiesta era pari alla metà di 10 100, ossia 5 050.
La generalizzazione di questo metodo permette di dimostrare che la somma S*n* dei termini della serie precedente (a0 + a1 + a2 + a3 + a4 +… *an*) è uguale a
(n+1)(2a0+nr)2.\frac{(n+1)(2a_0+nr)}{2}.
**Somma di una serie geometrica**
Anche una successione geometrica è definita dal suo termine iniziale a0 e dalla sua ragione, r. Questa volta, però, ciascun termine della successione è uguale al termine precedente moltiplicato per la ragione. Così, il termine di indice n è uguale a *an = a*0 *rn*.
Come calcolarne la somma parziale S*n = a*0 + a1 + a2 + a3 + a4 + … *an? Si distinguono due casi. Il primo, banale, corrisponde al caso in cui la ragione è 1. La successione è costante e la somma dei termini da 0 a n è uguale a (n + 1) × a*0. Nel caso generale, il trucco consiste nel moltiplicare S*n per (1 – r*). Si ottiene allora:
(1 – r) S*n = a*0 (1 – r)(1 + r + r2 + r3 + r4 + … + *rn*).
Sviluppando il prodotto (1 – r)(1 + r + r2 + r3 + r4 + … + *rn), si constata che i termini si annullano a due a due e che non resta che 1 – rn*+1. Quindi,
Sn=a01−rn+11−rS_n=a_0\frac{1-r^{n+1}}{1-r}
Casi limite
Si può calcolare la somma di un numero infinito di numeri reali? La risposta è… «talvolta». Cominciamo dai casi più semplici, le due progressioni (aritmetica e geometrica):
• la somma di una serie aritmetica non nulla ha sempre un limite infinito (+∞ o –∞);
• la somma di una serie geometrica non nulla ammette un limite finito se e solo se il valore assoluto della sua ragione è strettamente minore di 1; in tal caso, infatti, *r n*+1 tende a 0 al crescere di n, e la somma si avvicina sempre più al limite
a01−r.\frac{a_0}{1-r}.
Si può estendere la questione ad altre serie. Occorrerà allora destreggiarsi con gli strumenti dell’analisi reale per concludere che esiste una somma S (il limite delle somme parziali). Si parla allora di convergenza della serie.
Attenzione: talvolta si può dimostrare l’esistenza di questo limite senza necessariamente conoscerne il valore! Per giungere a questa conclusione, saranno spesso necessari alcuni risultati legati alla struttura topologica dei numeri reali. Ecco il più semplice: Una successione crescente e maggiorata di numeri reali ammette sempre un limite.
Così, una serie di numeri positivi le cui somme parziali sono maggiorate è sempre convergente. Di conseguenza, se i termini *un di una serie sono maggiorati dai termini vn* di una serie convergente, allora la serie ∑un\sum u_n è convergente.
Si può allora sfruttare la convergenza di ogni serie geometrica di ragione positiva r < 1 per ottenere un risultato molto utile: se il rapporto fra due termini consecutivi di una serie a termini positivi un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} rimane inferiore a un numero r strettamente minore di 1, allora la serie ∑un\sum u_n è convergente.