Che cos’è un’identità notevole? | Tangente

In matematica, il termine «identità» ha un significato ben preciso. È un’uguaglianza vera qualunque siano i valori dei suoi argomenti, se ne ha. Così, cos² x + sin² x = 1 è un’identità. Nella scuola secondaria, le identità notevoli riguardano soprattutto espressioni di secondo grado. All’università si incontrano alcune uguaglianze che riguardano polinomi di basso grado, come (a + b)(a² – ab + b²) = a³ – b³. Negli altri casi si parla generalmente di formule, come quella del binomio o le celebri formule di trigonometria. La questione è più linguistica che matematica…

Tre classici per immagini -------------------------

Come calcolare l’area del grande quadrato nell’immagine qui sotto? Si può considerare che il suo lato ha lunghezza a + b, ottenendo un’area pari a (a + b)², oppure sommare le aree di ciascuno dei quattro pezzi che lo compongono, ottenendo a² + 2ab + b².

Vista sotto un’altra prospettiva, la stessa figura permette di stabilire che (a – b)² = a² – 2ab + b². L’area del quadrato verde, di lato a – b, può infatti essere ricavata anche da quella del grande quadrato di lato a. Basta sottrarre l’area dei due grandi rettangoli tratteggiati, ciascuno di area ab. L’area del piccolo quadrato di lato b, tratteggiato due volte, è stata così sottratta una volta di troppo. Si rimedia facilmente scrivendo che l’area del quadrato verde è infine uguale a a² – 2ab + b².

Anche la terza identità notevole classica si ottiene per scomposizione. Qui il disegno parla da sé: basta ricomporre due trapezi per formare un rettangolo.

Anche nello spazio! ========================================================================

Le scomposizioni nel piano si possono realizzare anche nello spazio. Per esempio, si può ricoprire un cubo di lato a con alcuni parallelepipedi scelti opportunamente, per ottenere un cubo di lato a + b. Si ottiene così lo sviluppo di (a + b)³.

** a³. a³ + 3a²b. a³ + 3a²b a³ + 3a²b + 3ab² + b³ **

** + 3ab². = (a + b)³**