En matemáticas, el término «identidad» tiene un significado muy preciso. Se trata de una igualdad verdadera cualesquiera que sean los valores de sus argumentos, si los tiene. Así, cos2 x + sin2 x = 1 es una de ellas. En la enseñanza secundaria, las identidades notables se refieren sobre todo a expresiones de segundo grado. En la enseñanza superior se encuentran algunas igualdades relativas a polinomios de bajo grado, como (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – b3. En los demás casos se suele hablar de fórmulas, como la del binomio o las célebres fórmulas de trigonometría. La cuestión es más lingüística que matemática…
Tres clásicos en imágenes
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¿Cómo calcular el área del cuadrado grande de la imagen siguiente? Podemos considerar que su lado mide a + b, lo que da un área de (a + b)2, o sumar las áreas de cada una de las cuatro piezas que lo componen, lo que da a2 + 2ab + b2.
La misma figura, vista de otro modo, permite establecer que (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. En efecto, el área del cuadrado verde, de lado a – b, también puede obtenerse a partir de la del cuadrado grande de lado a. Basta con restar el área de los dos grandes rectángulos rayados, de área ab. Pero así se ha restado una vez de más el área del cuadrado pequeño de lado b, rayado dos veces. Basta añadirla de nuevo para que el área del cuadrado verde sea finalmente igual a a2 – 2ab + b2.
La tercera identidad notable clásica también se obtiene mediante recortes. Aquí, el dibujo habla por sí solo: basta con reensamblar dos trapecios para formar un rectángulo.
¡También en el espacio!
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Las descomposiciones realizadas en el plano también pueden hacerse en el espacio. Por ejemplo, podemos recubrir un cubo de lado a con algunos prismas rectangulares bien elegidos para obtener un cubo de lado a + b. Obtenemos así el desarrollo de (a + b)3.
** a3. a3 + 3a2b. a3 + 3a2b a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 **
** + 3ab2. = (a + b)3**
