Le equazioni di secondo grado, cioè quelle in cui l’incognita compare al quadrato, sono studiate da millenni. Se ne trovano tracce particolarmente antiche su tavolette d’argilla mesopotamiche, sulle quali sono ancora incisi affascinanti problemi di oltre 3 500 anni fa. Le idee sviluppate allora erano già sostanziose, ma la scrittura moderna della matematica ci permette di cogliere ancora meglio la forza delle identità notevoli nella risoluzione di queste equazioni.
Prendiamo un esempio per entrare nel vivo. Come trovare le soluzioni dell’equazione x2 + 3x + 1 = 0? Per chi non ricorda di aver mai affrontato questioni simili, la soluzione sembra piuttosto inestricabile. Eppure basta indovinare dove si nasconde un’identità notevole. Non la vedete? Nulla di strano: non è ancora completa! Per cominciare, riscriviamo la nostra equazione nella forma x2 + 3x = –1, poi osserviamo il membro sinistro.
Ricordate: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab.
Con un po’ di attenzione, si nota che x2 + 3x è l’inizio di un’identità notevole:
