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Tan simple y fecunda como sea, la noción de conjunto revela, una vez sometida al análisis implacable del lógico, formidables problemas técnicos. Emergen paradojas: ¿se puede considerar el conjunto de todos los conjuntos? ¿Puede un conjunto ser un elemento de sí mismo? Los conjuntos infinitos plantean otras preguntas. ¿Cuántos tipos de infinitos fundamentalmente diferentes existen? El infinito, la autorreferencia, las paradojas, ocultos en emboscada, guardan bien sorpresas al viajero imprudente…

En los juegos con información incompleta, las estrategias de juego no son ciertas, en la medida en que dependen de información que los jugadores no tienen. Las probabilidades van a intervenir de forma importante en la forma de jugar, el objetivo siendo ir hacia la situación que maximiza la probabilidad de ganancia, incluso su valor esperado. Pero esta probabilidad no siempre es simple de calcular, especialmente porque en ciertos contextos, como los juegos de casino, las reglas cambian para impedir que los jugadores la dominen.

Ya sean de reflexión o de azar, los juegos son un terreno de entrenamiento privilegiado para los algoritmos. Ilustración de la marcha irresistible del progreso de la informática, la reciente victoria de un ordenador sobre un campeón humano en el juego de go no debe, sin embargo, engañar: el objetivo no es solo hacer ganar a la máquina, sino sobre todo explorar nuevas vías. Es en esta lógica que un laboratorio privado se apoya en el bridge para desarrollar una inteligencia artificial capaz no solo de ganar, sino sobre todo de explicar lo que hace. Un enfoque que vuelve a destacar la simulación del comportamiento humano, desatendida en los últimos años en favor de la explotación de los datos masivos.

Entre lo que distingue a las matemáticas de las otras ciencias figura, sin duda, la capacidad de abstraer un conocimiento, un objeto, una idea, una noción, sin tener que referirse a una realidad « sensible ». Además, la cuestión de la existencia de los conceptos matemáticos tales como el número o el punto ha hecho « cavilar » a las mentes más grandes, de Platón a Hilbert pasando por Leibniz y Whitehead. El advenimiento del álgebra permitió « ganar potencia » al identificar y estudiar estructuras cada vez más generales, las cuales se propagaron luego en numerosos dominios de las matemáticas, en particular en geometría algebraica. En este marco, Alexandre Grothendieck se ilustró particularmente, introduciendo ideas que sorprenden por su grado de abstracción… ¡y su fecundidad! Pero ¿podría todo esto no ser más que un « simple » proceso mecánico observable por los neurólogos?

La autorreferencia está en el origen de paradojas bien conocidas, pero también de una profunda crisis en los fundamentos de la lógica y de las matemáticas. En el corazón del famoso teorema de incompletitud de Gödel, se puede encontrar una variante de la frase « Esta proposición es falsa ». Más allá de espinosos problemas filosóficos, la autorreferencia permite jugar con el infinito, tanto en el arte como en las matemáticas. Así, ciertas sucesiones de números poseen simetrías que nunca habríamos podido imaginar sin haber reflexionado sobre la rica noción de autosimilitud, que permite descubrir, para nuestro mayor placer, sucesiones « autodescriptivas » e incluso « fractales ». Los lectores descubrirán la continuación de este ambicioso dossier en dos partes en el próximo número (Tangente 192).

La autorreferencia está en el origen de paradojas bien conocidas, pero también de una profunda crisis en los fundamentos de la lógica y de las matemáticas. En el corazón del famoso teorema de incompletitud de Gödel, se puede encontrar una variante de la frase « Esta proposición es falsa ». Más allá de espinosos problemas filosóficos, la autorreferencia permite jugar con el infinito, tanto en el arte como en las matemáticas. Así, ciertas secuencias de números poseen simetrías que nunca habríamos podido imaginar sin haber reflexionado sobre la rica noción de autosimilitud, que permite descubrir, para nuestro mayor placer, secuencias « autodescriptivas » e incluso « fractales ». Los lectores descubrirán la continuación de este ambicioso dossier en dos partes en el próximo número (Tangente 192).

En ruptura con la búsqueda de regularidad en los fenómenos científicos, el interés por las funciones discontinuas apareció repentinamente a principios del siglo XIX con el estudio de las series de Fourier. Una mayor rigurosidad se impuso entonces para definir los conceptos de función, de continuidad, de derivabilidad. Riemann, Lebesgue, Darboux y otros propusieron ejemplos de funciones monstruosas para justificar el interés de las teorías que habían elaborado, abriendo el campo a nuevos enfoques de la física e incluso de la economía.

La esfera es uno de los objetos más elementales de la geometría. Para estudiarla, desde Arquímedes, se han desplegado tesoros de ingenio. La más famosa de ellas es la que habitamos, ¡pero hicieron falta siglos para convencerse de que la Tierra es « redonda »! Y las múltiples tentativas de representaciones cartográficas han dado lugar a desarrollos matemáticos que a veces han reservado grandes sorpresas. Cada proyección del globo sobre el plano genera su lote de deformaciones, de transformaciones de las áreas, de modificaciones de las propiedades. Así, la proyección estereográfica conserva los ángulos, pero no las distancias. ¿Cómo elegir « la » buena forma de visualizar este objeto? Según las características a conservar, se han imaginado diversos tipos de transformaciones. ¿Y si nos tomáramos el tiempo de revisitar las propiedades de la esfera?

La estadística no es ni una ciencia del pasado, ni una ciencia del futuro: ¡está bien anclada en el presente! La diversidad de sus aplicaciones da testimonio de su importancia en el mundo actual. Un rápido panorama de temas de actualidad los convencerá: demografía y financiamiento de las pensiones, poder adquisitivo, salud y fabricación de medicamentos innovadores, redes sociales… Son muchos los desafíos a los que se enfrentan hoy quienes la estudian. Entre ellos, el del secreto estadístico es crucial: ¿cómo tratar datos sensibles sin que sean divulgados? Es también la estadística la que se encuentra detrás de los avances de la inteligencia artificial, por ejemplo el famoso robot conversacional Chat-GPT.

La etnomatemática es una disciplina reciente y aún poco conocida por los no especialistas. Se dedica a estudiar las expresiones de tipos de racionalidad en diversas poblaciones que no hacen matemáticas tal como se enseñan y se conciben habitualmente. Su historia se presenta como una convergencia entre matemáticas y antropología, donde la geometría, la numeración o la algoritmia se revelan como herramientas preciosas para el estudio de prácticas culturales indígenas. A la inversa, los elementos matemáticos que se perciben al explorar estas costumbres plantean preguntas sobre nuestra relación con la disciplina. Un objetivo para este dossier: mirar las matemáticas de otros lugares pero sobre todo de otra manera.