Homenajes a un creador de problemas

Criptaritmos -------------

Como en todo criptaritmo, se trata de reconstruir esta suma, en la que dos letras representan dos cifras distintas y ningún número comienza por cero.

Las amigas traviesas -------------------

Estelle y Chloé son aficionadas a los acertijos matemáticos.

1. Un día, Estelle envía a Chloé el siguiente mensaje: «Aquí tienes cinco números: 346, 905, 376, 845 y 305. Mi número favorito es un número de tres cifras y cada uno de los cinco números dados contiene una única cifra que ocupa la posición correspondiente en mi número favorito.»

2. Unos días más tarde, Chloé envía una nota a Estelle: «Espero que puedas venir a mi cumpleaños. Aquí tienes ocho números: 4 358, 1 026, 7 944, 3 817, 4 659, 2 751, 8 903 y 5 227. Han cambiado el código de entrada de mi edificio; es un número de cuatro cifras y cada uno de los ocho números dados contiene una única cifra que ocupa la posición correspondiente en el código de entrada de mi edificio.»

Principio de los cajones: ¡pensad en la tangente! ---------------------------------------------

Intentad resolver este pequeño acertijo combinatorio de apariencia inofensiva: demostrar que, en todo conjunto E de cinco números reales, existen dos, a y b, tales que .

Las técnicas habituales de la aritmética, la combinatoria o el análisis no os permitirán resolver inmediatamente esta inocente cuestión. ¡Pensad entonces en un cambio de variable!

**Solución**

La paradoja de Bertrand -----------------------

Disponemos de tres cajas idénticas. La primera contiene dos bolas verdes; la segunda, una bola verde y una roja; la tercera, dos bolas rojas. Elegimos al azar una de las cajas (con la misma probabilidad) y, de ella, extraemos al azar una de las dos bolas (también con la misma probabilidad).

1. Si observamos que la bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la otra bola de la misma caja sea roja?

Esta vez tenemos n + 1 cajas que contienen cada una n bolas (con n ≥ 2). Para 0 ≤ k ≤ n, la caja número k contiene k bolas rojas y n − k bolas verdes. Elegimos igualmente una de las cajas al azar y, después, una de las bolas de esa caja (cada vez de forma equiprobable).

2. Al observar que la bola extraída es roja, si extraemos al azar una segunda bola de la misma caja (sin haber repuesto la primera bola extraída), ¿cuál es la probabilidad de que sea roja?

Solución**

¿Tres puntos alineados? ----------------------

Las tres circunferencias C₁, C₂, C₃ pasan por S. Las circunferencias C₁, C₂ se cortan además en P; las circunferencias C₁, C₃ se cortan además en Q, y las circunferencias C₂, C₃ se cortan además en R. El punto A (distinto de P y de Q) se toma sobre la circunferencia C₁. La recta (AP) corta de nuevo la circunferencia C₂ en B, y la recta (AQ) corta de nuevo la circunferencia C₃ en C.

**Solución**

Tres parcelas ----------------------

Alice y Bob disponen cada uno de tres parcelas de terreno en forma de triángulo rectángulo. Los puntos C y D están en la semicircunferencia de diámetro AB. Sobre los segmentos [AD], [DB], [AC] y [CB] se han construido triángulos rectángulos isósceles. El área total del terreno de Alice (en amarillo) parece igual a la del terreno de Bob (en verde).

**Solución**

Tres jarrones -----------

Alice propone a Bob el siguiente juego: dispone tres jarrones, que llamaremos A, B y C. En el jarrón A coloca trece fichas; en el jarrón B, quince fichas, y en el jarrón C, diecisiete. En cada paso, Bob elige dos jarrones en los que queda al menos una ficha, retira una ficha de cada uno de ellos y las coloca en el tercer jarrón. El objetivo es conseguir dos jarrones vacíos, de modo que todas las fichas queden en un único jarrón.

**Solución**

Problemas de vecindad ----------------------

Consideramos casillas alineadas y numeradas del 1 al n.

1. Dos casillas i y j son vecinas si | i – j | = 1. Se desea colorear estas casillas de negro (N) o blanco (B), de modo que cada casilla N tenga exactamente dos casillas vecinas B y cada casilla B tenga exactamente una casilla vecina N. ¿Para qué valores de n es posible?

2. Ampliamos la noción de «vecindad»: dos casillas i y j son ahora «vecinas» si | i – j | ≤ 2. Se desea colorear estas casillas de negro (N) o blanco (B), de modo que cada casilla N tenga dos o cuatro casillas vecinas B y cada casilla B tenga una o tres casillas vecinas N. ¿Para qué valores de n es posible?

Bipartición de un triángulo en dos regiones de igual área ------------------------------------------------------

Sobre el lado [AC] del triángulo ABC se sitúa un punto M, «más próximo» a A que a C. Proponed varios métodos para obtener el punto N sobre el lado [BC] de modo que el segmento [MN] divida el triángulo ABC en dos regiones de igual área.

Encontraréis las soluciones de los problemas de esta página, así como los testimonios completos de los amigos de Gilles, en la versión digital de este número, en **tangente-mag.com**.