Crittaritmi
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Come in ogni crittaritmo, occorre ricostruire questa addizione, nella quale due lettere rappresentano due cifre diverse e nessun numero comincia con zero.
Amiche birichine
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Estelle e Chloé sono appassionate di enigmi matematici.
1. Un giorno Estelle invia a Chloé il seguente messaggio: «Ecco cinque numeri: 346, 905, 376, 845 e 305. Il mio numero portafortuna è un numero di tre cifre e ciascuno dei cinque numeri dati contiene una e una sola cifra che occupa la posizione corretta nel mio numero portafortuna.»
Qual è il numero portafortuna di Estelle?
2. Qualche giorno dopo, Chloé invia un messaggio a Estelle: «Spero che tu possa venire al mio compleanno. Ecco otto numeri: 4 358, 1 026, 7 944, 3 817, 4 659, 2 751, 8 903 e 5 227. Il codice d’ingresso del mio palazzo è stato cambiato: è un numero di quattro cifre e ciascuno degli otto numeri dati contiene una e una sola cifra che occupa la posizione corretta nel codice d’ingresso del mio palazzo.»
Qual è il codice d’ingresso del palazzo di Chloé?
Principio dei cassetti: pensate alla tangente!
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Provate a risolvere questo piccolo enigma combinatorio apparentemente innocuo: dimostrate che, in ogni insieme E di cinque numeri reali, esistono due numeri, a e b, tali che .
Le tecniche abituali dell’aritmetica, della combinatoria o dell’analisi non vi permetteranno di risolvere immediatamente questo innocuo quesito. Pensate allora a un cambio di variabile!
**Soluzione**
Il paradosso di Bertrand
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Si hanno tre scatole identiche. La prima contiene due palline verdi, la seconda una pallina verde e una rossa, la terza due palline rosse. Si estrae a caso una delle scatole (con uguale probabilità) e da quella scatola si prende a caso una delle due palline (anch’esse equiprobabili).
1. Se si constata che la pallina estratta è rossa, qual è la probabilità che l’altra pallina nella stessa scatola sia rossa?
Questa volta si hanno n + 1 scatole, ciascuna contenente n palline (con n ≥ 2). Per 0 ≤ k ≤ n, la scatola numero k contiene k palline rosse e n − k palline verdi. Si estrae analogamente una delle scatole a caso, poi una delle palline di quella scatola, ogni volta con uguale probabilità.
2. Sapendo che la pallina estratta è rossa, se si estrae a caso una seconda pallina dalla stessa scatola (senza avervi rimesso la prima pallina estratta), qual è la probabilità che sia rossa?
Tre punti allineati?
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Le tre circonferenze C1, C2, C3 passano per S. Le circonferenze C1, C2 si intersecano in P, le circonferenze C1, C3 si intersecano in Q e le circonferenze C2, C3 si intersecano in R. Il punto A (distinto da P e Q) è scelto sulla circonferenza C1. La retta (AP) interseca nuovamente la circonferenza C2 in B e la retta (AQ) interseca nuovamente la circonferenza C3 in C.
I punti B, R, C sembrano allineati. È vero?
**Soluzione**
Tre appezzamenti di terreno
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Alice e Bob possiedono ciascuno tre appezzamenti di terreno a forma di triangolo rettangolo. I punti C e D si trovano sul semicerchio di diametro AB. Sui segmenti [AD], [DB], [AC] e [CB] sono costruiti triangoli rettangoli isosceli. L’area totale della proprietà di Alice (in giallo) sembra uguale a quella della proprietà di Bob (in verde).
Se è così, dimostratelo! Se non è così, dimostratelo!
**Soluzione**
Tre vasi
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Alice propone a Bob il seguente gioco: dispone tre vasi, che chiameremo A, B e C. Nel vaso A mette tredici pedine; nel vaso B ne mette quindici e nel vaso C diciassette. A ogni mossa, Bob sceglie due vasi in cui resta almeno una pedina, ne toglie una da ciascuno di questi due vasi e le mette nel terzo vaso. Lo scopo è ottenere due vasi vuoti, cosicché tutte le pedine si trovino in un unico vaso.
Bob potrà raggiungere questo obiettivo? Se sì, in quante mosse come minimo?
**Soluzione**
Problemi di vicinato
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Si considerino caselle allineate e numerate da 1 a n.
1. Due caselle i e j sono vicine se | i – j | = 1. Si vogliono colorare queste caselle in nero (N) o bianco (B), in modo che ogni casella N abbia esattamente due caselle vicine B e ogni casella B esattamente una casella vicina N. Per quali valori di n è possibile?
2. Estendiamo la nozione di «vicinato»: due caselle i e j sono ora «vicine» se | i – j | ≤ 2. Si vogliono colorare queste caselle in nero (N) o bianco (B), in modo che ogni casella N abbia due o quattro caselle vicine B e ogni casella B una o tre caselle vicine N. Per quali valori di n ciò è possibile?
Divisione di un triangolo in due regioni di uguale area
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Sul lato [AC] del triangolo ABC si pone un punto M, «più vicino» ad A che a C. Proponete diversi metodi per ottenere il punto N sul lato [BC] tale che il segmento [MN] divida il triangolo ABC in due regioni di uguale area.
Troverete le soluzioni dei problemi di questa pagina, nonché le testimonianze complete degli amici di Gilles, nella versione digitale di questo numero su **tangente-mag.com**.
